Algebraicas cierre de $\mathbb{C}(x)$ es isomorfo a $\mathbb{C}$

Question

Deje $x$ ser trascendental $\mathbb{C}$. Deje $K$ ser el algebraicas cierre de $\mathbb{C}(x)$. Cómo mostrar que $K$ es isomorfo a $\mathbb{C}$?

Answer 1

Si $B$ es una trascendencia base de $\mathbb C$$\mathbb Q$, $B$ es incontable, y $\mathbb C$ algebraica de cierre de $\mathbb Q(B)$.

Ahora $B\cup\{x\}$ es una trascendencia base de $K$$\mathbb Q$. Desde $B$ $B\cup\{x\}$ tienen el mismo cardinal, $K$ $\mathbb C$ son isomorfos: ambos son algebraicas cierres de puramente trascendental extensiones de $\mathbb Q$ de la misma trascendencia grado.

Answer 2

Esta es una consecuencia inmediata de un famoso teorema de Steinitz que innumerables algebraicamente cerrado campos son isomorfos si tienen igual carácter y la igualdad de cardinalidad (un ejemplo prototípico de Morley categoricity teorema).

Esto produce un error en el conteo, caso, por ejemplo, si $\mathbb A = $ algebraica de los números y, aunque contables, $\overline{\mathbb A(x)}\not\cong \mathbb A$, ya que tienen desigual trascendencia grado por encima del $\mathbb Q,\:$ viz. $1$ vs $0$, resp.