Demostrar o refutar la limitación de una integral definida

Question

Estoy tratando de reproducir el trabajo de un artículo publicado donde necesito para evaluar el límite de una integral definida $$\lim_{\xi\to\infty}\xi\int_0^1\exp\left[\frac{\xi^2}{4}\frac{2y^3-3y^2}{{(1-y)}^2}\right]\mathrm{d}y\,.$$

El autor del artículo sostiene que debido a que $$\lim_{\xi\to\infty}\xi\int_0^1\exp\left[\frac{\xi^2}{4}\frac{2y^3-3y^2}{{(1-y)}^2}\right]\mathrm{d}y=\lim_{\xi\to\infty}\xi\int_0^1\exp\left[-\frac{\xi^2}{4}\sum_{n=3}^\infty ny^{n-1}\right]\mathrm{d}y\,,$$ la contribución de los órdenes superiores de la $y$ es insignificante cuando se $\xi\to\infty$, por lo que $$\lim_{\xi\to\infty}\xi\int_0^1\exp\left[\frac{\xi^2}{4}\frac{2y^3-3y^2}{{(1-y)}^2}\right]\mathrm{d}y=\lim_{\xi\to\infty}\xi\int_0^1\exp\left[-\frac{\xi^2}{4}3y^2\right]\mathrm{d}y=\sqrt{\frac{\pi}{3}}\lim_{\xi\to\infty}\mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{3}\xi}{2}\right)=\sqrt{\frac{\pi}{3}}\,.$$

No estoy seguro de si está bien acaba de tirar a la basura todos los términos de orden superior de $y$, pero la evaluación numérica muestra el límite es correcta. ¿Hay alguna forma mejor de obtener este límite? Se ve que si podemos encontrar una función de $f(y)$ tal que $$f(y)\leq\frac{2y^3-3y^2}{{(1-y)}^2}\leq-3y^2$$ y $$\lim_{\xi\to\infty}\xi\int_0^1\exp\left[\frac{\xi^2}{4}f(y)\right]\mathrm{d}y=\sqrt{\frac{\pi}{3}}\,,$$ luego de la contracción de la regla de que el límite es la correcta. Traté de encontrar un"$f(y)$, pero no hizo mucho progreso.

Answer 1

He aquí una solución incompleta (también conocido como una idea, supongo). El cambio de las variables de $y=\frac1{\xi u}$ da $$ \xi\int_0^1\exp\bigg(\frac{\xi^2}{4}\frac{2y^3-3y^2}{{(1-y)}^2}\bigg) \,dy = \int_{1/\xi}^\infty \exp \bigg( {-}\frac{\xi (3 \xi u-2)}{4 u (\xi u-1)^2} \bigg) \frac{du}{u^2}. $$ Si el intercambio de límites puede ser justificado de alguna manera, entonces podríamos tener \begin{align*} \lim_{\xi\to\infty} \xi\int_0^1\exp\bigg(\frac{\xi^2}{4}\frac{2y^3-3y^2}{{(1-y)}^2}\bigg) \,dy &= \lim_{\xi\to\infty} \int_{1/\xi}^\infty \exp \bigg( {-}\frac{\xi (3 \xi u-2)}{4 u (\xi u-1)^2} \bigg) \frac{du}{u^2} \\ &\underset{?}= \int_0^\infty \exp \bigg( {-}\frac3{4u^2} \bigg) \frac{du}{u^2} = \sqrt{\frac\pi3}. \end{align*}