Las Matrices y los números primos

Question

Deje $ p $ ser un número primo y \begin{align} K=\left\{ \begin{pmatrix} a &b \\ c& d \end{pmatrix} \mediados de los a,b,c,d \ \ en \left\{0,1,\ldots,p-1 \right\}, \right. & una+d \equiv 1 \!\!\!\! \pmod p, \\ y ad-bc \equiv 0 \!\!\!\! \pmod p \left.\vphantom{\begin{pmatrix} a &b \\ c& d \end{pmatrix}} \right\}. \end{align} Determinar el $\operatorname{card}(K) $.

He tomado algunos casos particulares: $ p=2,3,5 \text{ or } 7 $ y he deducido que el $\operatorname{card}(K)=p(p+1) $, pero no puedo extender la solución para el caso general.

Answer 1

He aquí una manera de contarlas. Tenga en cuenta que cualquier matriz puede ser construido por uno de los dos métodos siguientes:

Método 1:

1. Seleccione $a \in \{0,1,\dots,p-1\}$
2. Seleccione un valor distinto de cero para $b$
3. Para resolver $d = 1 - a$, $c = \frac{ad}{b}$

Tenga en cuenta que hay $p(p-1)$ matrices que obtenemos de este método.

Método 2:

1. Set $b = 0$
2. $c$ puede ser elegido libremente
3. Establecer $a = 0$ $d = 1$ o $a = 1$ $d = 0$

Hay exactamente $2p$ matrices que obtenemos de este método.

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En total, por lo tanto tenemos a $p(p-1) + 2p = p(p+1)$ tales matrices.