Puede una colección de subconjuntos de N tal que nadie conjunto contiene otro ser innumerables?

Question

Deje que C es una colección de subconjuntos de a $\mathbb{N}$ tal que $A,B\in C \Rightarrow A \not\subseteq B$. Puede ser C innumerables?

Answer 1

Sí. Considerar las colecciones de subconjuntos que contienen exactamente una de $2i$$2i+1$, para todos los $i$.

Answer 2

Aquí es otro, tal vez debido a Donald J Newman.

Para cada número real $x$ considera un (infinito) de la secuencia de racionales $R_x = \{r_{x1}, r_{x2}, \cdots \}$ que converge a $x$.

Para $x \neq y$, $R_x$ y $R_y$ tienen en la mayoría de intersección finita.

Así el conjunto $S = \{R_x : x \in \mathbb{R}\}$ es una innumerable colección de infinitos subconjuntos de una contables conjunto, ninguno de los cuales es un subconjunto de otro. De hecho, cualquiera de los dos miembros de la colección tiene sólo un número finito de intersección.