Demuestra que $f=0$ casi en todas partes.

Question

Si $f$ es integrable en $\mathbb{R}^d$ en cuanto a la medida de Lebesgue y $\int_{R}f=0$ para cada rectángulo $R$ entonces $f=0$ casi en todas partes.

¿Podría darme algunas pistas sobre cómo mostrarlo?

Answer 1

Puedes probar el siguiente paso:

• demuestran que, para cada positivo $\varepsilon$ existe un $\delta$ de manera que si $B\subset\mathbb R^d$ es un subconjunto de Borel de medida de Lebesgue menor que $\delta$ entonces $\int_B|f|\mathrm d\lambda_d\lt\varepsilon$ ;
• si $B$ es un subconjunto de Borel de medida finita, existe una unión finita de rectángulos $B'$ tal que $\lambda_d(B\Delta B')\lt\delta$ . Supongamos primero que está contenido en $[-R,R]^d$ para algunos $R$ y utilizar el hecho de que en un espacio de medidas finito, cada conjunto medible puede ser aproximado por la métrica $d(A,B):=\mu(A\Delta B)$ por un elemento de un álgebra generadora. En este caso, tendrás que utilizar el álgebra de uniones finitas de rectángulos.

Answer 2

Esto se desprende de la Teorema de diferenciación de Lebesgue si está disponible. Para cada $x\in\mathbb R^n$ , dejemos que $(R_k(x))_{k\ge0}$ sea una secuencia de rectángulos con medida positiva que tiende a $\{x\}$ (por ejemplo $R_k(x)=[x_1-1/k,x_1+1/k]\times\dots\times[x_n-1/k,x_n+1/k]$ ). Dado que la familia de rectángulos de $\mathbb R^n$ es de excentricidad limitada (en el sentido de la página de Wikipedia), para a.e. $x\in\mathbb R^n$ , $$ f(x)=\lim_{k\to\infty}\frac1{\left|R_k(x)\right|}\int_{R_k(x)}f(t)\,\mu(\mathrm dt)=0. $$