Una pregunta sobre Terence Tao ' representación de axiomas de Peano

Question

Mientras que la lectura de Terence Tao del libro en el Análisis que yo tenía algunas preguntas con respecto a la implicación de los Axiomas de Peano.

Después de escribir los siguientes cuatro axiomas (que voy a escribir, sin cambiar su numeración original),

Axioma 2.1

$0$ es un número natural.

Axioma 2.2

Si $n$ es un número natural entonces $n{+}{+}$ es también un número natural. (Aquí $n{+}{+}$ denota el sucesor de $n$, y previamente en el libro de los métodos de representación de implicación ha sido bijected a los familiares de $1, 2\ldots$).

Axioma 2.3

$0$ no es el sucesor de un número natural; es decir, tenemos $n{+}{+}\neq 0$ para cada número natural $n$.

Axioma 2.4

Diferentes números naturales debe tener los distintos sucesores; es decir, si $n, m$ son números naturales y $n\neq m$, entonces $n{+}{+}\neq m{+}{+}$.

Ahora, permítanme citar a la parte del texto a partir de la cual mi pregunta es,

"Como se puede ver a partir de esta proposición, ahora parece que podemos tener todos los números naturales distintos el uno del otro. Sin embargo, existe todavía un problema más: mientras que los axiomas (especialmente los Axiomas de $2.1$ y $2.2$) nos permiten confirmar que $0,1,2,3,\ldots$ son distintos elementos de $\mathbb{N}$, existe el problema de que no puede ser otro "$\color{red}{\text{rogue}}$" elementos de nuestro sistema de numeración que no son de este formulario:...

...Lo que queremos es que algunos axioma que dice que los únicos números en $\mathbb{N}$ son aquellos que pueden ser obtenidos a partir de $0$ y la operación de incremento - en orden a excluir elementos tales como $0.5$. Pero es difícil cuantificar lo que queremos decir por "puede ser obtenido de" sin el uso de los números naturales, que estamos tratando de definir. Afortunadamente, hay una solución ingeniosa para tratar de capturar a este hecho:

Axioma 2.5

Deje que $P(n)$ ser cualquier propiedad perteneciente a un número natural $n$. Suponga que $P(0)$ es cierto, y supongo que cada vez que $P(n)$ es cierto, $P(n{+}{+})$ es también verdadero. Entonces $P(n)$ es verdadera para todo número natural $n$.

El sector informal de la intuición detrás de este axioma es el siguiente. Supongamos que $P(n)$ tal que $P(0)$, es cierto, y tal que siempre que $P(n)$ es cierto, entonces $P(n{+}{+})$ es cierto. A continuación, ya que $P(0)$ es cierto, $P(0{+}{+}) = P(1)$ es cierto. Dado que $P(1)$ es cierto, $P(1{+}{+}) = P(2)$ es verdadero. La repetición de esta manera indefinida, vemos que $P(0), P(1), P(2), P(3),$, etc. son todas verdaderas - sin embargo, esta línea de razonamiento, nunca nos deja la conclusión de que $P(0.5)$, por ejemplo, es cierto. $\color{blue}{\text{Así Axioma 2.5 no debe sostener para el número de sistemas que contienen}}$ "$\color{blue}{\text {innecesaria}}$"$\color{blue}{\text {elementos tales como $0.5$.}}$

Mis preguntas son, precisamente, con respecto a los colores de las declaraciones.

1. ¿Cómo podemos asumir la existencia de "$\color{red}{\text{rogue}}$" elementos de nuestro sistema de numeración? Para ser más precisos, ¿cómo puede uno que no sabe nada sobre el sistema de número y los números de tratar de convencer a sí mismo de la existencia de tales elementos?

2. Que $P(n)$ sólo se cumple para los números naturales? En otras palabras, cómo la adición del quinto axioma resuelve el problema de los elementos deshonestos?

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Añadió:-

Después de leer las diferentes respuestas de abajo, creo que se debe elaborar por qué las respuestas a continuación no satisfacer completamente a mí.

Lo KSmarts dijo en respuesta a mi primera pregunta parece circular a mí. A la cita de su respuesta,

Supongamos que, además de a la espera de números naturales $0,1,2,$ etc $\color{verde}{\color{verde}{\text{hay números}}\ a,b, \color{verde}{\text{y}}\ c \ \color{verde}{\text{que}}\ a++=b, b++=c,\ \color{verde}{\text{y}}\ c++=a}$. Esto no contradice ninguno de los cuatro primeros axiomas, por lo que es válida la construcción en virtud de esos axiomas. Sin embargo, no corresponde a lo que esperamos de los números naturales, por lo que hay otro axioma para restringir esta construcción.

La parte coloreada es la razón por la que creo que la respuesta es circular. Precisamente mi pregunta es que ¿cómo podemos convencer a alguien de la existencia de esos $a,b,c$'s que no sabe nada acerca de los números?

Hurkyl planteó un buen punto el que intenta resolver la pregunta de arriba,

Para tu primera pregunta, no es que asumimos que los elementos incontrolados existe, es que no podemos asumir que no existen. Si deseamos que no existen, debemos elegir una definición que nos permite demostrarlo.

"...es que no podemos asumir que no existen." Exactamente! Pero en mi opinión, podemos optar por una definición para "demostrar" que ese pícaro elementos no $\color{darkviolet}{\text{sólo cuando}}$ conocemos las propiedades de los elementos. Para entonces, podemos "construir" la definición de una manera que excluye la posibilidad de tales elementos incontrolados.

Así,

¿Cómo podemos saber las propiedades que sólo pertenece a los elementos renegados, a menos que tengamos una idea adecuada de la naturaleza de los elementos deshonestos?

Y es precisamente a la luz de esta pregunta que mi segunda pregunta surge naturalmente. Si conocemos las propiedades de los elementos malvados, entonces podemos definir la propiedad $P$ a ser el "complemento" de las propiedades que satisfacen a la pregunta de mi última pregunta.

Answer 1

Parte 1

No se supone que esos canallas que los números existen, sin embargo, en los cuatro primeros axiomas, no se puede decir definitivamente que no existe, que es realmente el punto.

Supongamos que, además de a la espera de números naturales $0,1,2,$, etc., hay números a $a,b$ y $c$, de modo que $a++=b, a\ b++=c,$ y $c++=$. Esto no contradice ninguno de los cuatro primeros axiomas, por lo que es válida la construcción en virtud de esos axiomas. Sin embargo, no corresponde a lo que esperamos de los números naturales, por lo que hay otro axioma para restringir esta construcción.

Parte 2

La propiedad $P(n)$ es arbitraria, no necesitan ser definidos específicamente para los fines de la axiología. Informalmente, el quinto axioma establece que funciona la inducción. Dada una propiedad de $P(n)$, las dos declaraciones que $P(0)$ es verdadera y si $P(n)$ es cierto, entonces $P(n++)$ es cierto son suficientes para mostrar que $P(n)$ es verdadera para todos los números naturales $n$.

Dicho de otra manera, esto significa que $0$ y todos los de su iterada sucesores forman todos los números naturales. En el ejemplo anterior, con $a,b$ y $c$, no es iterado sucesor de $0$, es decir, no "regular" número natural $n$, donde $n++=$. Así, esta construcción no es válida con el axioma de inducción.

Editar:

Elegí un conjunto finito de cifras hipotéticas en la Parte 1 simplemente por comodidad. ¿Qué propiedades de estos objetos, y lo que sus sucesores sean, es irrelevante. Todo lo que importa es que se adapten a los cuatro primeros axiomas, en que todo en el juego tiene un sucesor que también está en el conjunto, nada tiene un sucesor que es $0$, y no hay dos objetos distintos tienen el mismo sucesor. Hay, de hecho, una infinidad de cosas que podrían estar en este conjunto, y no hay modo de definir todos ellos. Además del problema de no ser números que nos "quieren" esto también significa que los números naturales, como se ha definido hasta la fecha, no están definidas de forma exclusiva hasta el isomorfismo.

Hay otra propiedad que sabemos que esos canallas que tienen los números, y que es lo que usamos para definir a ellos como "rogue". Es decir, si bien son una parte válida de los números naturales que hemos construido hasta ahora, que no son una parte natural de los números que se desea construir. Así que la pregunta natural (sin juego de palabras) es lo que la propiedad o propiedades de qué queremos que los números naturales?

Ingenuamente, los números naturales son el "recuento" de los números. Para cualquier número natural $n$, si partimos de cero y repetidamente tomar el sucesor, tendríamos (teóricamente) ser capaz de obtener $n$, eventualmente. De modo que, supuestamente, el pícaro números son números que no se puede "contar". Esto es lo que el quinto axioma, el axioma de inducción, se aborda. Si $P(0)$ y $P(n)\Rightarrow P(n+1)$, entonces usted puede mostrar a $P(1)$, $P(2)$, y así sucesivamente para cualquier número que se pueda contar a partir de cero. El axioma establece que este cubre todos los números naturales. Todo lo demás es excluido. No importa si son números irracionales, los enteros de Gauss, cartas, transfinito y infinitesimal surreals, o, como Kundor comentó, lanudos mamuts. Si no se puede contar a partir de cero, no es un número natural.

Answer 2

Para tu primera pregunta, no es que asumimos que los elementos incontrolados existe, es que no podemos asumir que no existen. Si deseamos que no existen, debemos elegir una definición que nos permite demostrarlo.

Respecto a su segunda pregunta, en el lenguaje de la aritmética de Peano, todo es un número natural. Por lo tanto, la única pregunta que podemos pedir en el lenguaje de la aritmética de Peano son preguntas acerca de los números naturales.

Si pudiéramos expresar matemáticamente la idea de que un número natural "pueden ser construidos a partir de $0$ y la iteración de $++$", entonces podríamos hacer la siguiente prueba:

• $0$ "pueden ser construidos a partir de $0$ y la iteración de $++$"
• Suponga que $n$ "pueden ser construidos a partir de $0$ y la iteración de $++$":
  • Tomar este tipo de construcción
  • Aplicar $++$ a
  • Por lo tanto $n+1$ "pueden ser construidos a partir de $0$ y la iteración de $++$":
• Ya hemos probado que el caso base y el inductivo hipótesis, sabemos que todos los números naturales "pueden ser construidos a partir de $0$ y la iteración de $++$".

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Voy de nuevo a responder algo ligeramente diferente de lo que usted pidió. La teoría de conjuntos tiene un buen truco para esta situación: en vez de averiguar lo que el pícaro elementos aspecto y tratar de excluir a ellos, en lugar de averiguar cómo seleccionar sólo las cosas que quieres. Supongamos que usted tenía algún modelo de los axiomas 2.1 al 2.4, que contenía elementos incontrolados. Debe haber algún subconjunto que también es un modelo de los axiomas 2.1 al 2.4, pero no contiene los elementos incontrolados.

Sin embargo, no podría haber muchos subconjuntos que son los modelos: ¿cómo encontrar la que queremos? Bueno, el que queremos que contiene sólo los números que deben de existir, por lo que debe ser el más pequeño subconjunto que es todavía un modelo de los axiomas 2.1 al 2.4!

Así que, si vamos a la definición de propiedades de los conjuntos en lugar de teorías formales, podríamos completar la definición con

2.5. No existe un subconjunto del subconjunto de números naturales que satisface los axiomas 2.1 al 2.4

Ahora, este truco lo general funciona mejor con construcciones en vez de propiedades; en este ejemplo, los números naturales son "construido" de la constante de 0 y el operador ++. Todos los números en realidad queremos son cosas que son específicas de cosas que se necesitan para existir, en lugar de solicitar la existencia de algo con una propiedad.

Poniendo el énfasis en el este, el conjunto teórico de la versión podría ser formulada como

2.5 b. No existe un subconjunto de los números naturales que contiene a 0 y a es cerrado bajo ++

Ahora, podemos recuperar el principio de inducción matemática mediante el uso de la correspondencia entre los conjuntos y los predicados: en lugar de pensar acerca de un subconjunto de $S$ de los números naturales y los números son los elementos de $S$, pensamos en un predicado unario $P$ en los números naturales y los números que satisfacen $P$. Reformular en este idioma

2.5. c. Excepto para el siempre verdadero predicado, no existe un predicado unario $P$ en los números naturales tales que $P(0)$ es verdadera y que $P(n++)$ es verdadera siempre que $P(n)$ es.

Esto es casi la misma cosa como el axioma de 2,5 que usted escribió.

Answer 3

El punto de "exclusión" rogue números es que hay mayor número de sistemas más allá de los números naturales, en el que los hechos que sabemos acerca de los números naturales ya no pueden sostenerse.

Por ejemplo, considere la posibilidad de la no-negativos de los números reales con las operaciones habituales de suma y multiplicación, y con el "sucesor", interpretada como $x \scriptsize{+\!+}\normalsize = x+1$, consistente con la forma en que tratamos a los números naturales. Luego de sus cuatro primeros axiomas son verdaderos en este modelo agrandado, pero no son propiedades de los números naturales que se pueden probar por inducción (el quinto axioma) que fallan en este agrandamiento de la modelo.

Por ejemplo, no existen números naturales $n$ que $n^2 = 2$ (que podríamos probar por inducción), pero hay un no-número real negativo de $x$ tales que $x^2 = 2$. Un ejemplo mejor, en el sentido de inmediato empate a los axiomas, es la proposición de que $0$ es el único número que no es un sucesor (tercer axioma). La prueba por inducción es sencillo (ya que aparte de caso base $n=0$ trabajamos con el sucesor de los elementos), pero esto no funciona en el modelo agrandado (hay un número infinito de números reales positivos en $(0,1)$, que no son sucesores en el sentido definido, siendo una, además de un sin-número real negativo).

Si sabíamos que en cualquier forma concisa la respuesta a la segunda parte de esta Pregunta, "Que $P(n)$ sólo se cumple para los números naturales?", a continuación, nos gustaría saber mucho más de lo que hacemos ahora. De hecho, el undecidability de teoremas de los axiomas de Peano significa que no finito procedimiento de decisión puede ser dada para esta parte de la Pregunta (a menos que los axiomas de Peano son inconsistentes, sin saberlo nosotros).

Answer 4

Lo importante para la pregunta 1 es si queremos demostrar que rogue existen elementos o queremos demostrar que no es así. Creemos que no podemos demostrar que rogue elementos existen, porque creemos que $\Bbb$ N sin rogue elementos es un modelo de los axiomas de Peano. (No podemos probar que dentro de PA, pero ese no es tu pregunta). También se puede mostrar que no podemos demostrar que rogue que no existan elementos mostrando que el PA axiomas (a menos que sean incompatibles), incluyendo el quinto axioma, tiene un modelo con los elementos incontrolados. Es muy difícil "conseguir una manija" en el pícaro elementos. Todos ellos son mayores que las de todos los elementos estándar, por lo que cualquier propiedad que se aplica a todos los suficientemente grandes números se aplica a todos ellos. Cualquier propiedad que se aplica a un número infinito de números se aplica a algunos de ellos. He encontrado una buena discusión en "La Imperfección Fenómeno" por Goldstern y de Judá.

Answer 5

1. La intuición detrás de la formulación del principio de la inducción es que se puede "probar" que una cierta propiedad $Q$ no es "válido" de propiedad de los números naturales. Por ejemplo, supongamos que tenemos la propiedad $Q(n):=n\text{ tienen parte decimal}$. Ahora, si definimos $P(n):=\text{no } P(n)=n\text{ no tienen parte decimal}$. Por lo tanto, el uso de la inducción, cleary $P(0)$, es cierto, y $P(n)\implica P(n\!+\!\!+)$ es cierto, para cualquier número natural $n$. Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que cada número natural no tienen parte decimal. (Obviamente, la nociones como $P$ no están definidos en la sección, pero esta "prueba" debería dar alguna idea de cómo el principio de la inducción excluir a otro "no-natural número de objetos".)

En conclusión, el principio de inducción dice que cada número natural cualquiera es cero o es el sucesor de otro número natural (en breve, usted puede demostrar por inducción que cada número natural es de predecesor de otro número natural), es decir, para cada número natural $n$ $n=0$ o $n=m\!+\!\!+$ para algún número natural $m$. Por lo que cualquier otro objeto no es un número natural.

2. El Tao dice que es un poco vaga de lo que la propiedad $P$, pero usted puede considerar las propiedades que involucran números naturales como $$P(n):= n \text{ es un número natural tal que}\dotsc$$ Por ejemplo

• $n$ es impar,
• $n^{2^n}+f(n)>1$,
• $n$ resuelve $(n+x)^3=n^3+x^3+3nx(n+x)$, etc.

Por lo tanto no hay restricciones para $P$; pero uno puede considerar que $P$ trata acerca de los números naturales.