Tensor de producto de los módulos a través de los cocientes por aniquiladores

Question

Si M y N son los módulos a través de algunos conmutativa anillo a y $\mathfrak{a} \subset \operatorname{Ann(M)} \cap \operatorname{Ann(N)}$ es un ideal, es cierto que $M \otimes_A N \cong M \otimes_{A/\mathfrak{a}} N$ a-módulos?

Creo que puedo interpretar $M \otimes_A N$ $A/\mathfrak{a}$- módulo desde $\mathfrak{a} \subset \operatorname{Ann}(M \otimes_A N)$, pero no sé si eso me pone más. Gracias!

Answer 1

Para ser absolutamente precisos , nos vamos a denotar por $M'$ $A/\mathfrak a$- módulo cuyo subyacente abelian grupo es el de $M$ y que la multiplicación es la obvia: $\bar a \cdot m=a\cdot m $ y de manera similar para $N'$.
El resultado que usted desea es entonces

$$ M \otimes _A N = ( M' \otimes_{A/\mathfrak{a}} N')_A \quad \text {(isomorphism of} \; A-\text {modules)}$$ donde, dado un $A/\mathfrak a$-módulo de $P$, la notación $P_A$ $A$ - módulo recibido de $P$ por la restricción de escalares $A\to A/\mathfrak{a}$.
Una referencia es Bourbaki, Álgebra, Cap. 2, §3, Cor. a Prop.2, página 246.