Digamos que hay dos grupos $A$ y $B$ . Se nos da que $ \mathrm {Hom}(A,G)$ y $ \mathrm {Hom}(B,G)$ son isomórficas, donde $G$ es otro grupo que puede o no ser trivial. ¿Qué podemos decir sobre la relación entre $A$ y $B$ ? No es realmente un problema de deberes, sólo me preguntaba.
Respuesta
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Si $G$ es sólo un grupo fijo, entonces se puede decir muy poco sobre $A$ y $B$ . Por ejemplo, si $G$ es un grupo de un solo elemento, entonces los grupos hom son siempre isomórficos. Exigir que los grupos hom sean isomórficos para una clase más grande de grupos puede salvar más información. Por ejemplo, no es difícil demostrar (aunque un poco difícil) que para los grupos finitos $A,B$ si los conjuntos hom (ni siquiera los grupos hom, sólo los conjuntos) son isomórficos para todos los grupos finitos $G$ entonces los dos grupos deben ser isomórficos. Esto falla para grupos infinitos, aunque el mismo resultado se recupera si se requiere que los hom sets sean naturalmente isomórficos para todos los grupos $G$ . Este resultado es sólo un caso especial de un resultado elemental en la teoría de categorías sobre la representabilidad.
