La función de densidad de probabilidad de una Exponencial($\lambda$) de la variable aleatoria, como se muestra en la pregunta, hecha por
$$f_\lambda(x) = \lambda\exp(-\lambda x),\ x\ge 0.$$
($f$ es cero para $x\lt 0$.)
La independencia de la asunción dice que la probabilidad de densidades de $X$ $Y$ se multiplican para dar la articulación de densidad de probabilidad como
$$f_{X,Y}(x,y) = \left(1\times \exp(-1\times x)\right)\left(2\times \exp(-2\times y)\right) = 2\exp(-x-2y).$$
($f_{X,Y}$ es cero si cualquiera de $x$ o $y$ es negativo.)
La articulación de las densidades de dar probabilidades a través de la integración: para encontrar la probabilidad de un evento $E$, integrar la densidad del conjunto $E$:
$${\Pr}_{f_{X,Y}}(E) = \iint_E 2 \exp(-x-2y)dx dy.$$
En este caso, recordando las restricciones de $x\ge 0$ y $y\ge 0$, $E$ puede ser escrito como $\{(x,y)\ |\ 3x + 4y \le 5, x\ge 0, y\ge 0\}.$ Aquí está una imagen de la gráfica de $f_{X,Y}$ cerca de esta región, con lo que se llena en más de $E$ a mostrar cómo el volumen debajo de la gráfica (la integral) corresponde a la probabilidad deseada:
![Figure]()
(El gris curvas de contornos de la gráfica de la articulación de la densidad. Debido a que la densidad no cambia cuando se $-x-2y$ se mantiene fijo, estos contornos son todas curvas de la forma $-x-2y=\text{ constant},$ que son partes de las líneas paralelas a todos perpendicular al vector $(-1,-2)$.)
Evidentemente $E$ es un triángulo determinado por $x\ge 0$, $y\ge 0$, y $3x+4y\le 5$. Si decidimos realizar la $x$ integración último, encontramos que para cada una de las $x$ $y$ puede variar desde un mínimo de $0$ a un máximo de $(5-3x)/4,$ deducido por la solución de las ecuaciones simultáneas $3x+4y\le 5$$y\ge 0$. También es evidente a partir de la figura y las desigualdades que $3x$ no puede exceder $5$, de donde $x$ debe estar entre $0$$5/3$. Por lo tanto, la probabilidad deseada debe ser calculada con una integral como
$${\Pr}(3X+4Y\le 5) = \int_0^{5/3}\int_0^{(5-3x)/4} 2\exp(-x-2y) dy dx .$$
Ello es elemental y no muy instructivo (pero hazlo de todos modos, para asegurarse de que el resultado es razonable este tiempo: parcial pasos en esta dirección aparecen en un hilo duplicado en el sitio de Matemáticas). La clave para aprender y recordar es cómo utilizar conjunta de las densidades para representar probabilidades; el resto es parte de la repetición de la rama de Cálculo. También podría ser útil recordar que este tipo de problema puede ser resuelto a partir de primeros principios con relativamente poco trabajo y con la ayuda de un dibujo sencillo: se multiplica (las densidades marginales) e integrar el resultado sobre el evento en cuestión. Siempre es una buena idea para dibujar una imagen de la misma. La figura es un buen resumen del procedimiento general.
