$x^3-9x-5=0$ Entonces, ¿qué es $x^4-18x^3-81x^2-12$

Question

Si tenemos $x^3-9x-5=0$ Entonces, ¿qué? $x^4-18x^3-81x^2-12$ ¿a qué equivale?

Esta es una pregunta de opción múltiple. A) $5$ B) $25$ C) $42$ D) $67$ E) $81$ .

Mi intento,

Por división larga de polinomios, tenemos $x^4-18x^3-81x^2-12=(x-18)(x^3-9x-5)+(-72x^2-157x-102)$

Desde $x^3-9x-5=0$ , lo que sea $x$ podría ser, $x^4-18x^3-81x^2-12=-72x^2-157x-102$

¿Cómo proceder?

P/S. Conclusión, NINGUNA de las opciones puede ser correcta.

Answer 1

Mira la descomposición $$x^4-18x^3-81x^2-12=x^2(x^2-18x-81)-12$$

Observa las raíces de la ecuación $x^3-9x-5=0$ debe pertenecer a los dos intervalos siguientes: $(-3,-2)$ y $(3,4)$ .

El eje de simetría de esta función $f=x^2-18x-81$ es $x=9$ por lo que la tendencia de la función es decreciente para $x < 9$ Así que observa:

$$\begin{array} {cccc} f(-3)<0&f(-2)<0&f(3)<0&f(4)<0\end{array}$$

Así que la función $f=x^2-18x-81<0$ en el intervalo de $(-3,-2)$ a $(3,4)$ .

Desde $x^2>0$ y $-12<0$ entonces $x^2(x^2-18x-81)-12$ debe ser menor que cero. Como todas las opciones dadas son positivas, ninguna de ellas puede ser correcta.

Answer 2

Basta con utilizar la sustitución sintética para resolver $x$ en la primera ecuación, y luego introduce ese valor en la segunda.