¿Por qué es esta ecuación $\sum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{\lambda^k}{k!e^\lambda}=\lambda +\lambda^2$ verdad?

Question

¿Por qué es $$\sum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{\lambda^k}{k!e^\lambda}=\lambda +\lambda^2$$

Para el contexto: estoy tratando de calcular $E(X^2)$, donde X es una poisson distribuido variable aleatoria.

Todos mis cálculos conducen a un callejón sin salida. Hay un truco para proceso de la $k^2$? La única cosa que veo que vale la pena hacer es tirar de $1/e^\lambda$.

Edit: Considerando @Srivatsan la sugerencia que tengo:

$$\sum_{k=0}^{\infty}k^2\frac{\lambda^k}{k!e^\lambda}=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}(k(k-1)+k)\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\left( \sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!}+\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{k!}\right)$$ $$=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}k(k-1)\frac{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}k\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}+e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}$$ $$=e^{-\lambda}\lambda^2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}+e^{-\lambda}\lambda\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}$$ $$=\lambda^2+\lambda$$

Y aquí estamos! Muchas gracias, @Srivatsan!

Answer 1

SUGERENCIA: Escribir $k^2 = k(k-1) + k$, y dividir la suma entre dos. [Actualización: El OP ha añadido una solución completa para el post.]

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Si usted está interesado en general $d^{th}$ momento de esta distribución, entonces estamos frente a una expresión de la forma $$ \mathrm e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} k^d \frac{\lambda^k}{k!}. $$ Para proceder, en primer lugar, escribir $x^d$ como una combinación lineal de las $d$ caída factorial de polinomios (también llamado Pochhammer símbolos): $$ \begin{align*} (x)_1 &= x \\ (x)_2 &= x(x-1) \\ (x)_3 &= x(x-1)(x-2) \\ &\vdots \\ (x)_d &= x(x-1)(x-2) \cdots (x-d+1) \end{align*} $$ [Estoy siguiendo la notación utilizada en el artículo de la wikipedia.] Después de este paso, el resto de las manipulaciones es muy similar a la $d=2$ caso de que el OP mostró en la pregunta.

La caída del factorial de polinomios aparecen en múltiples contextos. En primer lugar, el símbolo de Pochhammer $(x)_i$ está obviamente relacionado con el coeficiente binomial $\binom{x}{i}$. Además, como se ha visto anteriormente, estos polinomios son muy útiles en la manipulación de sumatorias. Ver también esta respuesta de robjohn.

Answer 2

Los momentos de la distribución de Poisson, como funciones de el primer momento, están dadas por la Touchard polinomios, también llamado "exponencial de polinomios". Sus coeficientes están relacionados con la enumeración de las particiones del conjunto. Ver Dobinski de la fórmula.