¿Es siempre posible encontrar un homomorfismo no trivial entre módulos?

Question

Creo que esta pregunta es elemental, y puede tener una respuesta muy sencilla, de la que aún no soy consciente.

Dados dos módulos no triviales sobre el mismo anillo no trivial (o dos grupos, o dos anillos, lo que sea ) ¿es siempre posible encontrar un homomorfismo no trivial entre ellos? No un tipo especial de homomorfismo, sólo uno no trivial. Si no es así, ¿podrías darme un contraejemplo?

Estoy pensando si puedo hacer un diagrama conmutativo como este: be $X$ , $Y$ y $Z$ módulos no triviales sobre el mismo anillo, y ser $\lambda: Z \rightarrow X$ un módulo-homorfismo, cuya imagen $\text{Img}(\lambda)$ es un submódulo propio de $X$ . Por lo tanto, el módulo cociente $X/\text{Img}(\lambda)$ es un módulo no trivial. ¿Puedo garantizar la existencia de un módulo-homorfismo no trivial entre $X/\text{Img}(\lambda)$ y $Y$ ¿Mi módulo arbitrario? Y por eso, tengo un homomorfismo inducido no trivial entre $X$ y $Y$ .

Answer 1

Un contraejemplo sencillo es el anillo $\mathbb{Z}$ y el $\mathbb{Z}$ -módulos $M=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y $N=\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ . No hay un sistema que no sea trivial $\mathbb{Z}$ -homomorfismo de módulo de $M$ a $N$ porque no hay ningún elemento de $N$ que tiene orden $2$ . (Se podría sustituir $2$ y $3$ con cualquier número entero relativamente primo).

Otro contraejemplo con el anillo $\mathbb{Z}$ viene dada por los módulos $M=\mathbb{Q}$ y $N=\mathbb{Z}$ . No hay ningún subgrupo de $N$ que es divisible ( en este sentido ).

Answer 2

Para los anillos conmutativos hay una forma geométrica de pensar en estas cosas. Todo módulo $M$ sobre un anillo conmutativo $R$ tiene un soporte que es el conjunto de ideales primos $P$ de manera que el localización $M_P$ en $P$ es distinto de cero. Este uso de "soporte" es análogo a la noción de soporte de una función: es "donde el módulo es distinto de cero".

Por ejemplo, cuando $R = \mathbb{Z}$ el conjunto de ideales primos está formado por el ideal cero $(0)$ y los ideales $(p)$ para $p$ un primo. El soporte de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ consiste únicamente en $(p)$ En términos generales, este módulo se comporta como una "función delta" que sólo es distinta de cero en $p$ .

Propuesta: si $M$ y $N$ son $R$ -con soportes disjuntos tales que $M$ es con presentación finita , entonces el único homomorfismo $M \to N$ es el homomorfismo cero.

Prueba. Queremos demostrar que el módulo hom $\text{Hom}_R(M, N)$ es cero. Esta condición es local en el sentido de que un módulo es cero si sus localizaciones lo son, por lo que basta con demostrar que las localizaciones $\text{Hom}_R(M, N)_P$ son cero. Como $M$ es de presentación finita, la localización conmuta con hom en el sentido de que

$$\text{Hom}_R(M, N)_P \cong \text{Hom}_{R_P}(M_P, N_P)$$

para todos los ideales primos $P$ . Pero por hipótesis, $M$ y $N$ tienen soportes disjuntos, por lo que para cualquier $P$ o bien $M_P$ o $N_P$ es cero, y por tanto también lo es la localización del módulo hom en $P$ . $\Box$

En otras palabras, de nuevo en términos generales, un homomorfismo $M \to N$ debe ser cero porque es "cero en cada punto".

La analogía entre el soporte para los módulos y el soporte para las funciones es más estrecha si tomamos productos tensoriales en lugar de homs: podemos eliminar la hipótesis de presentación finita, porque la localización siempre conmuta con los productos tensoriales, y obtenemos que si $M$ y $N$ son $R$ -con soporte disjunto, entonces $M \otimes_R N = 0$ un análogo exacto de la observación de que dos funciones con soporte disjunto se multiplican por cero.