Demostrar que la ecuación de $y'=f(x,y)$ tiene una solución periódica

Question

Dada la información: Vamos a $f$ ser una función continua definida para todos los $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. Deje $f$ también satisface una condición de Lipschitz con respecto a $y$. Deje $f$ ser periódica con respecto a $x$ del período $w$, y deje $y_1, y_2$ ser ejemplo de los valores que $f(x,y_1)f(x,y_2) \lt 0$ todos los $x$.

Pregunta: Mostrar que la ecuación de $y'=f(x,y)$ tiene al menos una solución periódica de período de $w$. Luego de aplicar este resultado a la ecuación de $y'+p(x)y = q(x)$ donde $p(x) \not = 0$ $q(x)$ son continuas las funciones de período de período de $w$.

Me dan una pista de que es:

Considerar el mapa

$$p: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, y_0 \mapsto p(y_0):=y_w$$

donde $y_{w}=y(w)$ $y$ la solución del problema de valor inicial

$$y'=f(x,y), y(0)=y_0$$

El mapa de $p$ es un mapa de Poincaré, que asigna el $y$valor $y_0$ de la solución de la curva por el punto $(x,y)=(0,y_0)$ $y$- valor de esta solución de la curva de $x=w$.

Una solución periódica de $y'=f(x,y), $ corresponde a un fijo de Poincaré mapa, es decir, la existencia de una $y^* \in \mathbb{R}$ $p(y^{*})=y^*$

Pensamientos al azar: tengo que probar la existencia de un punto fijo por señalar que el mapa de Poincaré es continuo, como se deduce del teorema.

Por favor, ayuda !

Answer 1

Suponga $y_1<y_2$ y $f(x,y_1)>0$, $\ f(x,y_2)<0$ para todos los $x$. Por los principios generales sobre educación a distancia de cualquier solución de $x\mapsto \phi_\eta(x)$, empezando en un punto $(0,\eta)$, $\ y_1\leq\eta\leq y_2$, finalmente abandonar el rectángulo $R:=[0,w]\times[y_1,y_2]$. Pero no puede hacerlo a lo largo de los bordes horizontales de este rectángulo. De ello se sigue que la solución de $\phi_\eta$ pasará a través de un punto de $(w,\eta')$, $\ y_1\leq\eta'\leq y_2$, en el borde derecho de la $R$. De esta manera, el llamado mapa de Poincaré $$\Phi:\quad [y_1,y_2]\to[y_1,y_2],\qquad \eta\mapsto \eta'=:\Phi(\eta)$$ está definido. De nuevo por los principios generales de esta $\Phi$ es continua. Por Brouwer del teorema de punto fijo (o utilizando el teorema del valor intermedio) se deduce que $\Phi$ tiene un punto fijo $\eta_*\in[y_1,y_2]$. La solución de $\phi_{\eta_*}$ a partir de a $(0,\eta_*)$ es entonces periódico.

Si en lugar de la hipótesis inicial en $f$ hemos $f(x,y_1)<0$, $\ f(x,y_2)>0$ empezamos el argumento en $x=w$ y proceder a la izquierda.

En el ejemplo, $y'+p(x) y=q(x)$ hemos $$f(x,y)=p(x)\left({q(x)\over p(x)} -y\right)\ .$$ Como $p$ $q$ son periódicas y continuas, y $p(x)\ne0$ todos los $x$ hay un $M>0$ tal que $$-M<{q(x)\over p(x)}<M\qquad\forall x\ .$$ De ello se sigue que por la elección de $y_1:=-M$, $\ y_2:=M$ podemos cumplir con los supuestos de la "teorema".

Answer 2

Dibujar un rectángulo con lados de $(0, w) $ $(y_1, y_2)$ y prestar mucha atención a la condición de $ f(x, y_1)f(x,y_2)<0$ todos los $x$. Permítanme asumir WLOG que $f(x, y_1)<0$$y_1 < y_2$. Dibujar las curvas integrales del campo de vectores $ f(x,y)$. Te darás cuenta de que todos apuntan hacia arriba en el lado superior del rectángulo y hacia abajo en la parte inferior. Desde integral curvas no se cruzan, esto implica que el mapa contiene el intervalo de $(y_1, y_2)$ en la imagen y, además, que es monotono en $p^{-1}((y_1,y_2)) \subset (y_1,y_2)$.

Esta es la gran imagen intuitiva. Puede usted hacer es riguroso ahora?