Intervalo para el área delimitada por $r = 1 + 3 \sin \theta$

Question

Estoy tratando de calcular el área de la región delimitada por un ciclo de la gráfica de la ecuación

$$r = 1 + 3 \sin \theta$$

Yo primero trazar la gráfica de una limaçon con un máximo circuito exterior en $(4, \frac{\pi}{2})$ y un mínimo de bucle interno en $(-2, -\frac{3 \pi}{2})$. Yo, a continuación, observe la gráfica es simétrica con respecto a la $\frac{\pi}{2}$ eje y el cero para la mitad derecha es en $\theta = \arcsin(-\frac{1}{3})$.

Así, elegí el intervalo de $[\arcsin(-\frac{1}{3}),\frac{\pi}{2}]$, para calcular el área de la que luego puede ser multiplicado por $2$ para la otra mitad. El problema es que la respuesta en el libro parece usar $\arcsin(\frac{1}{3})$ en su lugar, tenga en cuenta el cambio de signo.

Sólo para asegurarse de que no soy la incomprensión de donde me salió mal, tengo la respuesta

$$\frac{11 \pi}{4} - \frac{11}{2} \arcsin(-\frac{1}{3}) + 3 \sqrt 2$$

Mientras que el libro consigue

$$\frac{11 \pi}{4} - \frac{11}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) - 3 \sqrt 2$$

Es un sutil cambio de signo, pero realmente me gustaría entender de dónde me salió mal.

Answer 1

Observe cómo $\arcsin(-\frac{1}{3}) = - \arcsin(\frac{1}{3})$, por lo que su respuesta se parece ahora

$$\frac{11 \pi}{4} + \frac{11}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + 3 \sqrt 2 \\ $$

Eso significa que su área es mayor que la respuesta en su libro:

$$2 \left(\frac{11}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) + 3 \sqrt 2\right)$$

Esto podría indicar que se quiere calcular el área del bucle exterior, mientras que su libro es el cálculo del bucle interno. Si usted elige el intervalo de $[\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi - \arcsin(\frac{1}{3})]$, para calcular la mitad de como lo hacía antes, se obtiene:

$$\begin{eqnarray} A &=& 2 \times \frac{1}{2} \int_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi - \arcsin \frac{1}{3}} (1 + 3 \sin \theta)^2 \, \textrm{d}\theta \\ &=& \left[\frac{11 \theta}{2} - 6 \cos \theta - \frac{9 \sin(2 \theta)}{4} \right]_{\frac{3 \pi}{2}}^{2 \pi - \arcsin \frac{1}{3}} \\ &=& \frac{11 \pi}{4} - \frac{11}{2} \arcsin(\frac{1}{3}) - 3 \sqrt 2 \\ \end{eqnarray}$$

Esto parece estar de acuerdo con la respuesta en su libro.

Answer 2

$$\begin{align} \int_{\arcsin(-1/3)}^{\pi-\arcsin(-1/3)}\frac12r^2\,\mathrm{d}\theta &=\int_{\arcsin(-1/3)}^{\pi-\arcsin(-1/3)}\frac12(1+3\sin(\theta))^2\,\mathrm{d}\theta\\ &=\int_{\arcsin(-1/3)}^{\pi-\arcsin(-1/3)}\frac12\left(1+6\sin(\theta)+9\sin^2(\theta)\right)\mathrm{d}\theta\\ &=\int_{\arcsin(-1/3)}^{\pi-\arcsin(-1/3)}\frac12\left(1+6\sin(\theta)+9\left(\frac{1-\cos(2\theta)}2\right)\right)\mathrm{d}\theta\\ &=\left[\frac{11}4\theta-3\cos(\theta)-\frac98\sin(2\theta)\right]_{\arcsin(-1/3)}^{\pi-\arcsin(-1/3)}\\ &=\frac{11}4\left(\pi+2\arcsin\left(\frac13\right)\right)+3\sqrt2 \end{align}$$ Esta es la zona de los outer loop

La suma de ambos bucles es $$\begin{align} &\int_0^{2\pi}\frac12\left(1+6\sin(\theta)+9\left(\frac{1-\cos(2\theta)}2\right)\right)\mathrm{d}\theta\\ &=\left[\frac{11}4\theta-3\cos(\theta)-\frac98\sin(2\theta)\right]_0^{2\pi}\\ &=\frac{11}2\pi \end{align}$$ de manera que el área del bucle interno se $$\frac{11}4\left(\pi-2\arcsin\left(\frac13\right)\right)-3\sqrt2$$