Interpretación Geométrica. Considere la posibilidad de una positiva definida la matriz $A$. Se define el elipsoide
$${\cal E}_A = \{u: u^T a u \leq 1\}.$$
Tenga en cuenta que la correspondencia entre $A$ y ${\cal E}_A$ es uno-a-uno. Por otra parte, $A\succeq B$ si y sólo si ${\cal E}_B$ de ${\cal E}_A$. El uso de este hecho, podemos dar la siguiente caracterización.
$C \succeq$ y $C \succeq B$ si y sólo si ${\cal E}_C \subconjunto {\cal E}_A \cap {\cal E}_B$.
Del mismo modo,
$C \preceq$ y $C \preceq B$ si y sólo si ${\cal E}_C \supset {\cal E}_A \copa {\cal E}_B$.
Ahora una matriz $C$ es un mínimo de la matriz s.t. $C \succeq$ y $C \succeq B$ si y sólo si ${\cal E}_C \subconjunto {\cal E}_A \cap {\cal E}_B$ y no hay elipsoide de "sandwich" de entre ${\cal E}_C$ y ${\cal E}_A \cap {\cal E}_B$. Es fácil ver que lo que sucede iff $\partial{\cal E}_C$ cruza $\partial{\cal E}_A$ $k$-dimensiones del elipsoide y $\partial{\cal E}_C$ cruza $\partial{\cal E}_B$ un $n-k$ dimensiones del elipsoide. Esto puede ser expresada en términos de matrices de $A$, $B$ y $C$.
Considere la posibilidad de un mínimo de $C$ s.t. $C \succeq$ y $C \succeq B$. Entonces hay dos subespacios $U$ y $V$ con ${\mathbb R}^n = U \oplus V$ tales que $u^T Cu = u^T Au$ para $u\en U$ y $u^T Cu = u^T Bu$ para $u\V$; en particular, $\operatorname{rango}(C-A) + \operatorname{rango}(C-B) \leq$n.
La visualización. La siguiente animación muestra los puntos suspensivos de ${\cal E}_C$ inscrito en ${\cal E}_A \cap {\cal E}_B$ en dos dimensiones. Cada elipse ${\cal E}_C$ corresponde a un mínimo de la matriz $C$ ($C \succeq$ y $C \succeq B$)
![Ellipse ${\cal E}_C$ inscribed in ${\cal E}_A \cap {\cal E}_B$]()
Y esta animación muestra mínimo de puntos suspensivos ${\cal E}_C$ con ${\cal E}_A \copa {\cal E}_B$.
![minimum ellipses ${\cal E}_C$ containing ${\cal E}_A \cup {\cal E}_B$]()
Me temo que no hay más explícita la caracterización de los conjuntos de $\{C: C \succeq Un \text{ y } C \succeq B\}$ y $\{C: C \preceq Un \text{ y } C \preceq B\}$.
La correspondencia entre "conocer" y "unirse" a las matrices. Tenga en cuenta que si $C_1$ es "unirse" a $C_2 = a+B-C_1$ es "cumplir" y viceversa. Que se deduce del hecho de que $C_2 \preceq$ ffi $A+B-C_1 \preceq$ ffi $B \preceq C_1$; del mismo modo, $C_2 \preceq B$ si $A \preceq C_1$.
Caracterización de $2\times 2$ matrices. Si $a$ y $B$ son $2\times 2$ matrices (s.t. $A\no\preceq B$ y $\no\succeq B$) a continuación se encuentran y unen las matrices $C$ deben satisfacer las siguientes ecuaciones $\det(C-A) = 0$ y $\det(C-A) =0$. El conjunto de matrices simétricas que satisfacen este sistema de ecuaciones de las formas de un unidimensional de la curva en el espacio de las matrices. Vamos a escribir
$$C_{xyz} = \begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}.$$ Entonces el conjunto
$$\{(x,y,z): \det(C_{xyz} - A) = \det(C_{xyz} - B) = 0\}$$
es una hipérbola (que se encuentra en un plano en ${\mathbb R}^3$). Puntos en una rama de la hipérbola corresponden a unirse matrices; puntos en la otra rama corresponden a cumplir con las matrices.
Notas. Tenga en cuenta que al cambiar la base siempre podemos suponer que $A=I$ y $B$ es una matriz diagonal, pero no creo que esta observación conduce a una muy explícito caracterización de $\{C: C \succeq Un \text{ y } C \succeq B\}$. En particular, $C$ no tiene que ser una matriz diagonal. Por ejemplo, vamos a
$$A=\begin{pmatrix} 1& 0\\0& 1\end{pmatrix}\quad B =\begin{pmatrix} 2& 0\\0& 1/2\end{pmatrix}.$$ A continuación, las siguientes matrices $C$ son mínimos matrices mayor ($\succeq$) de $A$ y $B$:
$$C=\begin{pmatrix} 2& 0\\0& 1\end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} 3& 1\\1& 3/2\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix} 3& -1\\-1& 3/2\end{pmatrix}.$$
(El conjunto de todas las matrices $C$ formularios de una en una dimensión de la curva en el espacio de la totalidad de los $2\times 2$ matrices.)
