Propiedades del cono de Matrices Semidefinite positivas

Question

El conjunto de positivo semidefinite simétrica real de las matrices de la forma de un cono. Podemos definir un orden sobre el conjunto de matrices diciendo $X\geq Y$ si y sólo si $X$ Y es positivo semidefinite. Sospecho que este orden no tiene el entramado de la propiedad, pero todavía me gustaría saber que las matrices son candidatos para la reunión y combinación de dos matrices.

En otras palabras, dejar que $P$ ser el cono de positivo semidefinite matrices. Hay una buena caracterización del conjunto $(X+P)\cap (Y+P)$, de dos matrices? ¿Cuáles son los mínimos puntos en esta intersección?

Answer 1

Interpretación Geométrica. Considere la posibilidad de una positiva definida la matriz $A$. Se define el elipsoide $${\cal E}_A = \{u: u^T a u \leq 1\}.$$ Tenga en cuenta que la correspondencia entre $A$ y ${\cal E}_A$ es uno-a-uno. Por otra parte, $A\succeq B$ si y sólo si ${\cal E}_B$ de ${\cal E}_A$. El uso de este hecho, podemos dar la siguiente caracterización.

$C \succeq$ y $C \succeq B$ si y sólo si ${\cal E}_C \subconjunto {\cal E}_A \cap {\cal E}_B$.

Del mismo modo,

$C \preceq$ y $C \preceq B$ si y sólo si ${\cal E}_C \supset {\cal E}_A \copa {\cal E}_B$.

Ahora una matriz $C$ es un mínimo de la matriz s.t. $C \succeq$ y $C \succeq B$ si y sólo si ${\cal E}_C \subconjunto {\cal E}_A \cap {\cal E}_B$ y no hay elipsoide de "sandwich" de entre ${\cal E}_C$ y ${\cal E}_A \cap {\cal E}_B$. Es fácil ver que lo que sucede iff $\partial{\cal E}_C$ cruza $\partial{\cal E}_A$ $k$-dimensiones del elipsoide y $\partial{\cal E}_C$ cruza $\partial{\cal E}_B$ un $n-k$ dimensiones del elipsoide. Esto puede ser expresada en términos de matrices de $A$, $B$ y $C$.

Considere la posibilidad de un mínimo de $C$ s.t. $C \succeq$ y $C \succeq B$. Entonces hay dos subespacios $U$ y $V$ con ${\mathbb R}^n = U \oplus V$ tales que $u^T Cu = u^T Au$ para $u\en U$ y $u^T Cu = u^T Bu$ para $u\V$; en particular, $\operatorname{rango}(C-A) + \operatorname{rango}(C-B) \leq$n.

La visualización. La siguiente animación muestra los puntos suspensivos de ${\cal E}_C$ inscrito en ${\cal E}_A \cap {\cal E}_B$ en dos dimensiones. Cada elipse ${\cal E}_C$ corresponde a un mínimo de la matriz $C$ ($C \succeq$ y $C \succeq B$)

Y esta animación muestra mínimo de puntos suspensivos ${\cal E}_C$ con ${\cal E}_A \copa {\cal E}_B$.

Me temo que no hay más explícita la caracterización de los conjuntos de $\{C: C \succeq Un \text{ y } C \succeq B\}$ y $\{C: C \preceq Un \text{ y } C \preceq B\}$.

La correspondencia entre "conocer" y "unirse" a las matrices. Tenga en cuenta que si $C_1$ es "unirse" a $C_2 = a+B-C_1$ es "cumplir" y viceversa. Que se deduce del hecho de que $C_2 \preceq$ ffi $A+B-C_1 \preceq$ ffi $B \preceq C_1$; del mismo modo, $C_2 \preceq B$ si $A \preceq C_1$.

Caracterización de $2\times 2$ matrices. Si $a$ y $B$ son $2\times 2$ matrices (s.t. $A\no\preceq B$ y $\no\succeq B$) a continuación se encuentran y unen las matrices $C$ deben satisfacer las siguientes ecuaciones $\det(C-A) = 0$ y $\det(C-A) =0$. El conjunto de matrices simétricas que satisfacen este sistema de ecuaciones de las formas de un unidimensional de la curva en el espacio de las matrices. Vamos a escribir $$C_{xyz} = \begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}.$$ Entonces el conjunto
$$\{(x,y,z): \det(C_{xyz} - A) = \det(C_{xyz} - B) = 0\}$$ es una hipérbola (que se encuentra en un plano en ${\mathbb R}^3$). Puntos en una rama de la hipérbola corresponden a unirse matrices; puntos en la otra rama corresponden a cumplir con las matrices.

Notas. Tenga en cuenta que al cambiar la base siempre podemos suponer que $A=I$ y $B$ es una matriz diagonal, pero no creo que esta observación conduce a una muy explícito caracterización de $\{C: C \succeq Un \text{ y } C \succeq B\}$. En particular, $C$ no tiene que ser una matriz diagonal. Por ejemplo, vamos a $$A=\begin{pmatrix} 1& 0\\0& 1\end{pmatrix}\quad B =\begin{pmatrix} 2& 0\\0& 1/2\end{pmatrix}.$$ A continuación, las siguientes matrices $C$ son mínimos matrices mayor ($\succeq$) de $A$ y $B$: $$C=\begin{pmatrix} 2& 0\\0& 1\end{pmatrix}\quad C=\begin{pmatrix} 3& 1\\1& 3/2\end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix} 3& -1\\-1& 3/2\end{pmatrix}.$$ (El conjunto de todas las matrices $C$ formularios de una en una dimensión de la curva en el espacio de la totalidad de los $2\times 2$ matrices.)