El enlace de Willie, y la sugerencia indirecta de que las álgebras graduadas pueden ser relevantes para mi pregunta, me lleva a añadir algunas reflexiones más sobre mi propia pregunta.
Resulta que el álgebra exterior es un álgebra graduada y, al menos para las cantidades electromagnéticas, el álgebra exterior es definitivamente relevante.
Mi $41^{st}$ edición (1959-1960) de la Manual de química y física , página 3177, da la dimensión de la carga eléctrica, $Q$ como $\epsilon^{1/2}m^{1/2}l^{3/2}t^{-1}$ o $\mu^{-1/2}m^{1/2}l^{1/2}$ . Si multiplicamos formalmente estas dos dimensiones, obtenemos:
$Q^2=(\textit{ml}^2/t)\sqrt{\epsilon/\mu}$ .
Del mismo modo, para la fuerza de los polos magnéticos, $\Phi$ (página 3185), obtenemos:
$\Phi^2=(\textit{ml}^2/t)\sqrt{\mu/\epsilon}$ .
Resulta que todas las magnitudes electromagnéticas vienen en pares así, con algunos masa-longitud-tiempo dimensión, multiplicada por $G=\sqrt{\epsilon/\mu}$ o $R=\sqrt{\mu/\epsilon}$ , donde G y R son la conductancia y la resistencia eléctrica, respectivamente:
$ \begin{array}{2} G=\sqrt{\epsilon/\mu} & R=\sqrt{\mu/\epsilon} \\ C=t\sqrt{\epsilon/\mu} & L=t\sqrt{\mu/\epsilon} \\ Q^2=(\textit{ml}^2/t)\sqrt{\epsilon/\mu} & \Phi^2=(\textit{ml}^2/t)\sqrt{\mu/\epsilon} \\ I^2=(\textit{ml}^2/t^3)\sqrt{\epsilon/\mu} & E^2=(\textit{ml}^2/t^3)\sqrt{\mu/\epsilon} \\ \vec{D}^2=(m/l^2t)\sqrt{\epsilon/\mu} & \vec{B}^2=(m/l^2t)\sqrt{\mu/\epsilon} \\ \vec{H}^2=(m/l^2t)\sqrt{\epsilon/\mu} & \vec{E}^2=(m/l^2t)\sqrt{\mu/\epsilon} \\ \rho_e^2=(m/t)\sqrt{\epsilon/\mu} & \rho_m^2=(m/t)\sqrt{\mu/\epsilon} \\ etc. & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $
Aquí, $C$ y $L$ son la capacitancia y la inductancia, mientras que $I$ y $E$ son la corriente y el potencial, respectivamente.
En Formas diferenciales discretas para la modelización computacional por Mathieu Desbrun, Eva Kanso y Yiying Tong, (Fuente: http://www.geometry.caltech.edu/pubs/DKT05.pdf ), dice (páginas 15, 12):
La relación constitutiva
$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$ y $\vec{H}=\mu \vec{B}$
son muy similares al operador estrella de Hodge que transforma un $k$ -a un ( $n-k$ )-forma. Aquí, $\epsilon$ actúa sobre el campo eléctrico $\vec{E}$ , una forma 1, para obtener el desplazamiento eléctrico $\vec{D}$ una forma 2, mientras que $\mu$ transforma el campo magnético $\vec{B}$ , una 2 forma, en la intensidad del campo magnético $\vec{H}$ Una forma 1. Para ello, se puede pensar en ambos $\epsilon$ y $\mu$ como operadores estelares de Hodge inducidos a partir de métricas adecuadamente elegidas.
Debemos utilizar la inversa de la estrella de Hodge para pasar de un dual ( $n-k$ )-cadena a un $k$ -cadena. Sin embargo, utilizaremos indistintamente $\star$ para significar la estrella o su inversa.
Hay tres estrellas Hodge diferentes en $\Re^3$ uno por cada dimensión del simplex. Pero, como ya hemos comentado para los demás operadores, la dimensión de la forma sobre la que se aplica este operador desambigua la estrella a la que se refiere. Así que no vamos a cargar nuestra notación con índices innecesarios, y utilizaremos el símbolo $\star$ para cualquiera de las tres estrellas implicadas.
El autor menciona que la densidad de carga $\rho_e$ es una 3ª forma, pero no da ninguna pista sobre cuál podría ser el operador de Hodge apropiado para una 3ª forma, y me queda la duda de por qué no hay también un operador de Hodge para las formas 0.
Sin embargo, dejando de lado todo esto, ¿qué podemos decir que hemos aprendido de esto sobre la naturaleza de lo que llamamos "dimensión"? Mis engranajes rechinan, pero tendré que esperar a que mis musas me den algo para continuar...
