Conjunto de subconjuntos finitos como espacio vectorial: ¿Doble dual?

Question

Un problema que he encontrado al pensar en los duales de los espacios vectoriales:

Sea $S$ un conjunto arbitrario. Denotemos por $F(S)$ el conjunto de subconjuntos finitos de $S$ y por $P(S)$ su conjunto de energía.

Ahora es fácil ver que $F(S)$ forma un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ si se define la suma de vectores como diferencia simétrica y la multiplicación con escalares mediante las relaciones simples $0A=\emptyset$ y $1A=A$ . Una base particular de ese espacio vectorial es $\{\{s\}: s\in S\}$ .

A partir de ahí, también es fácil construir el espacio dual $F(S)^*$ : Sus miembros vienen dados simplemente por los elementos de $P(S)$ con la siguiente regla de aplicación: Si $\alpha\in P(S)$ y $v\in F(S)$ entonces $$\alpha(v) = \begin{cases}1 & \text{if $\alpha\cap v $ has an odd number of elements}\\0 & \text{if $\alpha\cap v $ has an even number of elements}\end{cases}$$ (o simplemente, expresar el número de elementos en $\alpha\cup v$ en $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . Tampoco es difícil demostrar que la suma de vectores en $F(S)^*$ es de nuevo la diferencia simétrica. Así que se puede decir que, dada la regla de aplicación anterior, $F(S)^* = P(S)$ Obsérvese que, para el caso de la $S$ , $F(S)=P(S)$ mientras que para el infinito $S$ , $F(S)$ es menor que $P(S)$ .

Hasta ahora, todo va bien. Sin embargo, ¿qué pasa con el doble-dual $F(S)^{**} = P(S)^*$ ? Ya que para el finito $S$ , $P(S)=F(S)$ se podría concluir que la misma construcción funciona de nuevo. Sin embargo, para el infinito $S$ no puede funcionar, porque no se puede decir si un conjunto infinito tiene un número par o impar de elementos. También, $P(S)$ ya contiene todos los subconjuntos de $S$ y por lo que tengo entendido, $P(S)^*$ debe ser entonces mayor que $P(S)$ .

Por eso mi pregunta: ¿Existe una representación simple de $F(S)^{**}=P(S)^*$ Y si es así, ¿qué aspecto tiene? Lo ideal sería ver fácilmente la equivalencia con $F(S)$ en el caso de que sea finito $S$ .

Answer 1

Como espacio vectorial, $F(S)$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_2$ con una base indexada por $S$ mismo. Así que tiene dimensión $|S|$ . Es isomorfo a la suma directa de $|S|$ muchas copias de $\mathbb{F}_2$ por lo que el espacio dual es isomorfo al producto directo de $|S|$ muchas copias de $\mathbb{F}_2$ .

Como espacio vectorial, $P(S)$ es el producto directo de $|S|$ muchas copias de $\mathbb{F}_2$ por lo que es efectivamente isomorfo a $F(S)^*$ y así $F(S)^{**} = P(S)^*$ .

Esto se deduce simplemente de la propiedad universal: un mapa lineal $$f\colon \bigoplus_{s\in S}(\mathbb{F}_2)_s\to \mathbb{F}_2$$ está completamente determinado por lo que ocurre con la base. Especificar lo que ocurre con cada elemento de la base $1_s$ equivale a especificar un elemento de $\mathop{\prod}\limits_{s\in S}\mathbb{F}_2$ donde el mapa $f$ corresponde a la tupla $(f(1_s))_s$ . A la inversa, cualquier elemento $\mathbf{f}$ del producto define una función $\mathop{\oplus}\limits_{s\in S}(\mathbb{F}_2)_s\to\mathbb{F}_2$ mediante la asignación del elemento base $1_s$ a $\mathbf{f}_s$ .

Una vez que haya identificado $F(S)^*$ con $P(S)$ se deduce que $F(S)^{**}$ puede identificarse con $P(S)^*$ . Sin embargo, para realizar una correspondencia similar habría que partir de una base de $P(S)$ (para expresarlo como una suma directa); esto es difícil de hacer (se necesita AC, creo, para garantizar la existencia de una base).

Tenga en cuenta que cuando $S$ es infinito, es difícil incluso expresar $F(S)^{**}$ y mucho menos hacer que se corresponda con algo "obvio". Hace falta un poco de aritmética cardinal para demostrar incluso que no puede ser isomorfo a $F(S)$ .

(Sí, si $V$ es un espacio vectorial de dimensión infinita, entonces $V^*$ es un espacio vectorial de dimensión estrictamente mayor que $V$ Véase, por ejemplo esta respuesta en particular, si $S$ es infinito, entonces $P(S)$ es un espacio vectorial infinito de dimensión estrictamente mayor que $|S|$ y así $P(S)^*$ es a su vez de dimensión estrictamente mayor que $\dim(P(S))$ . )