Gran Rudin 1.40: Conjunto Abierto es un contable de la unión de cerrado discos?

Question

La lectura a través de Grandes Rudin, me han llegado a través de la siguiente instrucción en la prueba del Teorema 1.40:

Deje $S \subset \mathbb{C}$ ser un conjunto cerrado [en la topología inducida por la el módulo complejo]. Vamos $\Delta = \{z \in \mathbb{C}: |z-\alpha|\leq \epsilon\}$ ser un cerrado de disco sobre el punto $z \in \mathbb{C}-S$. A continuación, $\mathbb{C}-S$ está dado por una contables de la unión de cerrado discos de $\Delta$.

Un (arbitrario) conjunto abierto es la unión de un contable número de conjuntos cerrados? Esto parece como un error para mí, pero no puedo encontrar ninguna mención de él en línea. Por lo que vale la pena, la prueba parece funcionar si tomamos $\Delta$ libre de disco, como el estándar de la topología en $\mathbb{C}$ es segundo contable.

Edit: ¿Alguien sabe de una buena fe de erratas para el libro? Los únicos dándose a conocer son para el Bebé Rudin.

Answer 1

Cualquier conjunto abierto de $\mathbb{C}$ es una contables de la unión de abrir bolas - específicamente, si $U\subseteq \mathbb{C}$ está abierta, $U$ es la unión de la "racional" abrir las bolas contenidas en $U$, es decir, aquellos abrir bolas cuyos centros son los números complejos cuya parte real e imaginaria son racionales, y cuyos radios son racionales (desde $\mathbb{Q}$ es contable, sólo puede haber countably muchos de esos abrir las bolas). Ahora tenga en cuenta que cualquier bola abierta es un contable de unión cerrado de bolas - específicamente, $\{z\in\mathbb{C}:|z-\alpha|<\epsilon\}$ es igual a la de la unión $$\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\{z\in\mathbb{C}:|z-\alpha|\leq\epsilon-\tfrac{1}{n}\}.$ $ , Por último, tenga en cuenta que una contables de la unión de contables de los sindicatos es todavía una contables de la unión.