Un "prime-mapping" polinomio

Question

Supongamos que $f$ es un polinomio con coeficientes enteros con la propiedad de que para cualquier prime $p$, $f(p)$ es una de las principales. Es allí cualquier polinomio $f$ otros de $f(x)=x$ de curso?

Mi enfoque era que, si el coeficiente inicial $a_{0}$$f$$0$, $f(p)=p$ para cualquier prime $p$, lo $f(x)-x$ tiene raíces infinitas $\implies f(x)=x$. Si $\deg{f}=n$ e si $a_{0}$ $\gt n$ factores primos, a continuación, también, el mismo argumento funciona - pero no pude terminar mi argumento.

Cualquier ayuda será muy apreciada!

Answer 1

La constante de las funciones de $f(x)=p$ donde $p$ es primo, tiene la propiedad deseada, como hace la función $f(x)=x$. Para mostrar que no hay otros, supongamos que $f$ tiene grado positivo. Supongamos también que para algunos prime $p$, $f(p)=q$ donde $q$ es un primer diferente de $p$. (Si $f(p)=p$ para todos los números primos $p$,$f(x)=x$, desde un no-cero polinomio de grado $m$ no puede tener más de $m$ ceros.)

A continuación, $f(p+nq)\equiv 0 \pmod{q}$ para cada entero $n$. Pero por Dirichlet del Teorema, hay una infinidad de números primos en la progresión aritmética $p, p+q, p+2q, \dots$. Si $p^\ast$ es bastante grande a un tal primo, entonces $f(p^\ast)$ es mayor que $q$, pero divisible por $q$, y por lo tanto no es primo.