Número de positivos divisor

Question

Dado el siguiente número "$11..11$" -$1992$ queridos repitió-, demostrar que el número de positivos divisor es incluso.

Se me ocurrió la siguiente idea: escoger el número y vuelva a escribir el número de esta manera:

$$\sum_{i=0}^{1992}{10^i}=\sum_{i=0}^{1992}{2^i5^i}=2^05^0+2^15^1+\cdots+2^{1992}5^{1992}$$

Y, el único divisor común a todos los número es $1$ y el gran número en sí, sólo dos divisores. Así que la cantidad de divisores positivos de un número entero debe ser par.

¿Esto algún sentido?

Gracias

Answer 1

Sugerencia Para cualquier entero $n$ si $d$ es un divisor de a $n$ lo es $\frac{n}{d}$. Mientras $\frac{n}{d}\neq d$ son una pareja, y puede vincular los divisores.

Utilizar esta idea para demostrar que cualquier número que NO es un cuadrado perfecto tiene un número par de divisores.

Sugerencia 2 $$111...1=\frac{1}{9} 999..999=\frac{1}{9}(10^{1992}-1)$$

Utilice el hecho de que $10^{1992}$ es un cuadrado perfecto, para demostrar que su número no puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 2

El número de $11..11$ es divisible por $3$ ya que la suma de sus dígitos es $1+1+...=1992$=múltiplo de $3$, pero no por $9$ ya que la suma de sus dígitos no es divisible por $9$.
Así, el número de investigar no es un cuadrado perfecto y por lo tanto tiene un número par de divisores.

Answer 3

Hecho 1: Cada número entero al cuadrado es congruente a $0$ o $1$ modulo $4$.

Hecho 2: $1\ldots1 \equiv 3 \text{ mod } 4$.

Por lo tanto, $1 \ldots 1$ no es un cuadrado. QED

---

En caso de que los dos hechos aquí son confusos o desconocidos, vamos a establecer en cada caso:

Hecho 1: Cualquier número es $0, 1, 2,$ o $3$ modulo $4$; el cuadrado y reduciendo el modulo $4$ más, los resultados se $0, 1, 0, 1$, respectivamente. Por lo tanto, el primer hecho se ha establecido.

Hecho 2: Observe $11 = 8 + 3$, e $111 = 108 + 3$, e $1111 = 1108 + 3$, etc. Mirando el lado derecho en cada caso, el ex sumando es divisible por $4$, y el $3$ se encuentra solo. Por lo tanto, la reducción de modulo $4$ establece el segundo hecho.

Answer 4

He aquí otra modular de prueba. Divide el número por $11$ para obtener $$\underbrace{1010\ldots101}_{\textrm{996 1s}}.$$ We will show that this result is not itself divisible by $11$, lo que implica que el número original no es un cuadrado perfecto.

Tenga en cuenta que un número con dígitos $a_1b_1a_2b_2 \ldots a_{k-1}b_{k-1}a_k$ es congruente a $0$ modulo $11$ (es decir, es divisible por $11$) si y sólo si $\sum a_i \equiv \sum b_i \pmod {11}$. En nuestro caso, tenemos $\sum a_i = 996$$\sum b_i = 0$. Pero $996 \not \equiv 0 \pmod {11}$.