Agrupación natural de los números en progresión aritmética

Question

Necesito encontrar el número de maneras de dividir los 12 primeros números naturales en 3 grupos iguales (4 números cada una), de modo que los números en cualquier grupo en particular puede ser dispuestos en AP (progresión Aritmética).

Esto es lo que hice:

Considerar el grupo que contiene el número de $1$

Para este grupo, las posibilidades son:

$1- 2 -3- 4$ o, $1- 3 -5- 7$ o, $1- 4 -7- 10$

Claramente 12 no está incluido en alguno de estos grupos, por lo $12$ debe ser parte de otro grupo. Para este grupo también tenemos tres posibilidades (contar hacia atrás a partir de $12$). Después de eso, acabo de comprobar todas las combinaciones posibles de los dos grupos para ver si a la tercera fue en AP. (era una especie de fácil, a sólo 9 casos)

Yo tengo mi respuesta final a 4. Me gustaría saber si hay más simple y elegante método para la resolución de este, y si es posible la generalización de los n primeros números naturales.

Answer 1

Esta es una pregunta interesante. No tengo una respuesta concreta, pero escribí un programa para calcular los valores de los diferentes $n$$m$, contando el número de maneras de dividir el primer $n$ números en grupos de progresiones aritméticas de tamaño $m$ . Aquí están algunos de los resultados con los pares se escriben como $(n,m)$:

$(9,3)=5$,

$(12,3)=15$, $(12,4)=4$,

$(15,3)=55$, $(15,5)=4$,

$(16,4)=11$,

$(18,3)=232$, $(18,6)=4$, $(18,6)=4$,

$(20,4)=23$, $(20,5)=10$,

$(24,3)=6643$, $(24,4)=68$, $(24,6)=10$, $(24,8)=4$.

Me he saltado la escritura de pares que satisfacen dichas ecuaciones:

Si $m$ no es un divisor de a$n$$(n,m)=0$. Si $n$ es incluso entonces

$$(n,\frac{n}{2})=2,$$

$$(n,2)=\frac{n!}{2^{n/2}\frac{n}{2}!}.$$

EDITAR

Esto no encajaría en un comentario, pero aquí son las formas de agrupación (12,3):

$$ \begin{array}{ccc} \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 9 & 11 \\ 8 & 10 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 8 \\ 5 & 7 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 7 & 10 \\ 5 & 8 & 11 \\ 6 & 9 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 8 & 12 \\ 5 & 6 & 7 \\ 9 & 10 & 11 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 9 & 11 \\ 8 & 10 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 10 \\ 4 & 8 & 12 \\ 7 & 9 & 11 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 7 & 12 \\ 4 & 6 & 8 \\ 9 & 10 & 11 \end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ 10 & 11 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 9 \\ 2 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 8 \\ 10 & 11 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 9 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 7 & 11 \\ 8 & 10 & 12 \end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 5 & 9 \\ 2 & 6 & 10 \\ 3 & 7 & 11 \\ 4 & 8 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 11 \\ 2 & 3 & 4 \\ 5 & 7 & 9 \\ 8 & 10 & 12 \end{array}\right] & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 6 & 11 \\ 2 & 7 & 12 \\ 3 & 4 & 5 \\ 8 & 9 & 10 \end{array}\right] \end{array} $$