si : $abc=8 $: $(a+1)(b+1)(c+1)≥27$

Question

si : $$abc=8 :a,b,c\in \mathbb{R}_{> 0}$$

entonces :

$$(a+1)(b+1)(c+1)\ge 27.$$

Yo :

$$(a+1)(b+1)(c+1)=1+(a+b+c)+(ab+ac+bc)+abc$$

$$(a+1)(b+1)(c+1)=1+(a+b+c)+(ab+ac+bc)+8, $$

entonces?

Answer 1

El uso de $\bf{A.M\geq G.M}$

$$\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+1\geq 3\left(\frac{a^2}{4}\right)^{\frac{1}{3}}$$

Del mismo modo $$\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+1\geq 3\left(\frac{b^2}{4}\right)^{\frac{1}{3}}$$

$$\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+1\geq 3\left(\frac{c^2}{4}\right)^{\frac{1}{3}}$$

Por lo $$(a+1)(b+1)(c+1)\geq 27 \left(\frac{(abc)^2}{64}\right)^{\frac{1}{3}} = 27$$

la igualdad se mantienen cuando se $\displaystyle a= b=c = 2$

Answer 2

Tenemos $$(a+1)(b+1)(c+1)=9+a+b+c+ab+bc+ca,$$ desde $$abc=8.$$ We get $$\frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}=2$$ and $$\frac{ab+bc+ca}{3}\geq \sqrt[3]{(abc)^2}=4$$ Multplying by $3$ y sumando, se obtiene la declaración anterior.

Answer 3

Esta es una realidad de manos en forma de proceder.

Supongamos $b\gt c$, reemplace ambas con $B, C=\sqrt {bc}$ que mantiene el producto el mismo, pero las dos igual. Ahora tenga en cuenta que $$0\lt (\sqrt b-\sqrt c)^2=b+c-2\sqrt {bc}$$ or $$B+C=2\sqrt{bc}\lt b+c$$ so the sum is reduced, and looking at the components of $(un+1)(b+1)(c+1)$ we have $B+C\lt b+c$ and $a(B+C)\lt a(b+c)$ con los demás términos sin cambios.

La sustitución por lo tanto se reduce el producto, el cual puede ser reducida, por lo tanto, a menos que todos los términos son iguales. El valor mínimo por lo tanto ha $a=b=c$.

Nota: esto incluye una oculta la prueba de la AM/GM de la desigualdad de dos variables - AM/GM de la desigualdad es la idea esencial aquí (o esto puede ser visto como una propiedad de la curvatura - la suma es plana y el producto que se curva). Cualquier prueba también utilizar en algún lugar el hecho de que los números que se indican a ser positivo (otra cosa establecer uno de ellos igual a $-1$ ...). Usted debe reflexionar sobre cómo las diversas pruebas de uso de este hecho.

Answer 4

Por El Titular De La $$\prod\limits_{cyc}(a+1)\geq\left(\sqrt[3]{abc}+1\right)^3=27$$