$\int_0^1|f(x)-g(x)|dx=1$ diferentes $f,g\in S$

Question

No existe una infinita subconjunto $S$ $C([0,1],\mathbb{R})$ tal que $$\int_0^1|f(x)-g(x)|dx=1$$ for any distinct $f,g\in S$?

Yo estaba adivinando la respuesta es sí. Puedo construir un conjunto con 3 funciones, pero realmente no puede ser generalizada.

Answer 1

Vamos $$\triangle_{a,b}= \begin{cases} 2\frac{x-a}{b-a}, &\text{if }a<x<\frac{a+b}2\\ 2\frac{x-b}{a-b}, &\text{if }\frac{a+b}2\le x<b\\ 0, &\text{otherwise.} \end{casos} $$

La función de $\triangle_{a,b}$ es no negativo, cero fuera del intervalo de $(a,b)$ y la gráfica es un triángulo de altura 1, la integral de esta función es el área del triángulo, es decir,$\frac{b-a}2$. (Es bueno para dibujar una imagen).

Ahora usted puede elegir $$f_n=2^{n+1}\triangle_{1/2^n,1/2^{n+1}}.$$

Consigue $\int f_n(x)\; \mathrm{d}x=\frac12$ y $$\int |f_n(x)-f_m(x)|\; \mathrm{d}x=\int f_n(x)\; \mathrm{d}x+\int f_m(x)\; \mathrm{d}x=1$$ para $n\ne m$. (Observe que el apoyo de $f_n$ y el apoyo de $f_m$ son disjuntas.)