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10|f(x)g(x)|dx=1 diferentes f,gS

No existe una infinita subconjunto S C([0,1],R) tal que 10|f(x)g(x)|dx=1 for any distinct f,gS?

Yo estaba adivinando la respuesta es sí. Puedo construir un conjunto con 3 funciones, pero realmente no puede ser generalizada.

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Vamos \triangle_{a,b}= 
\begin{cases}
2\frac{x-a}{b-a}, &\text{if }a<x<\frac{a+b}2\\
2\frac{x-b}{a-b}, &\text{if }\frac{a+b}2\le x<b\\
0, &\text{otherwise.}
\end{casos}

La función de a,b es no negativo, cero fuera del intervalo de (a,b) y la gráfica es un triángulo de altura 1, la integral de esta función es el área del triángulo, es decir,ba2. (Es bueno para dibujar una imagen).

Ahora usted puede elegir fn=2n+11/2n,1/2n+1.

Consigue fn(x)dx=12 y |fn(x)fm(x)|dx=fn(x)dx+fm(x)dx=1 para nm. (Observe que el apoyo de fn y el apoyo de fm son disjuntas.)

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