Inyectividad de la push-forward de ciclos modulo racional de equivalencia

Question

Deje $Y$ ser un cerrado subscheme de un esquema de $X$, y deje $i: Y \rightarrow X$ ser la inclusión de morfismos. Tenemos el empuje de avance $i_{\ast}: A_{k}(Y) \rightarrow A_{k}(X)$ donde $A_{k}(X)$ denota el grupo de $k$-ciclos modulo racional de equivalencia.

¿Bajo qué condiciones se $i_{\ast}$ es inyectiva?

Estoy interesado en el caso de $X = Gr(k, n)$ $Y = H \cap Gr(k, n)$ donde $H$ es un general hyperplane.

Gracias!

Answer 1

Descargo de responsabilidad: Esto no es una respuesta, sólo algunas ideas que podrían ayudar a rla.

Creo (o más bien, espero que) la obstrucción a su mapa de $i_\ast$ ser inyectiva tiene que ver con "mayor Chow grupos" de el complemento de $Y$$X$. Tengo que admitir que no sé exactamente lo que son, pero sé un poco acerca de la "K_0 de la teoría del punto de vista", y hay una precisa teorema sobre graduales $K_0$-teoría (coherente con poleas en $X$) con Chow grupos modulo de torsión, lo que es plausible que las cosas que son verdaderas en $K$-teoría podría ser cierto en el Chow de la teoría; es una imprecisa declaración en la que usted no debe tomar demasiado en serio.

De hecho, hay una secuencia exacta llamado la secuencia de localización $$K_0(Y)\to K_0(X) \to K_0(X\backslash Y)\to 0,$$ and the same holds for the Chow ring $$A(Y)\to A(X) \to A(X\backslash Y)\to 0.$$ In $K_0$-theory, I've seen that this localization sequence can be continued by plugging in higher $K$-grupos. Por lo tanto, sospecho que el mismo puede ser hecho en Chow teoría. Puedo ver una referencia para estas cosas si quieres, aunque no estoy seguro de si sería una buena.

De todos modos, en el caso de $X=\mathbf P^n$ $Y$ es un hyperplane, creo que se puede calcular explícitamente el mapa de $A(Y) \to A(X)$ por el uso que el anillo de Chow proyectiva $n$-espacio puede ser calculada de forma explícita. Es algo parecido a $\mathbf Z[x]/(1-x)^{n+1}$ $x$ la clase de $\mathcal{O}(1)$ si recuerdo correctamente. Usted probablemente puede también calcular el anillo de Chow de la Grassmannian explícitamente, y por lo tanto el mapa en su pregunta.