Hallar la distribución de las variables iid X, Y dada la distribución de X-Y

Question

Digamos que conozco la distribución de $X-Y$ pero no conozco el distribuino de $X$ (o $Y$ ), pero sé que son estadísticamente independientes y que tienen la misma distribución. ¿Está bien definido el problema de encontrar la distribución, es decir, sólo habrá una solución?

Un ejemplo podría ser el modelo Logit, que puede derivarse de un marco de utilidad aleatoria con perturbaciones de tipo 1 de valor extremo. Dada la configuración RUM, y dada la distribución logística final en $X-Y$ ¿está bien definida la distribución de los choques en el RUM?

Mi intuición me dice que es eso, ya que supongo que $X$ y $Y$ son iid. Por supuesto, si las distribuciones pudieran diferir, la situación sería diferente.

A lo que quiero llegar finalmente es: ¿existen estrategias numéricas para encontrar las distribuciones originales dada la distribución sobre las diferencias?

Editar Olvidé algo: asumir media cero en las distribuciones "originales".

Answer 1

Como contraejemplo:

Si $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ y $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ son iid, entonces $Z = X - Y$ es $N(0, 2 \sigma^2)$ .

Por el contrario, si observamos que $Z \sim N(0, 2 \sigma^2)$ entonces hay un número infinito de padres normales $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ que satisfagan el mismo ... es decir, mientras que podemos fijar $\sigma$ hay un número infinito de $\mu$ soluciones.

Answer 2

Conocemos dos variables aleatorias independientes $X,Y$ tiene una distribución común, y sabemos que ambas tienen esperanza cero (o algún otro centrado conveniente). No sabemos cuál es esa distribución común, pero sí conocemos la distribución de $D=X-Y$ . ¿Es posible determinar la función de distribución de $X$ y $Y$ ?

Supongamos que $X,Y,D$ tiene distribuciones continuas, con función de distribución acumulativa (fdc) y densidad $F,f$ (para $X,Y$ ) y $G,g$ (para $D$ ). En primer lugar, observe que $D$ siempre tienen una distribución simétrica: $$ \newcommand\myeq{\mathrel{\stackrel{{\mbox{ D}}}{=}}} X-Y \myeq Y-X \myeq -(X-Y) $$ desde $X\myeq Y$ donde el símbolo $\myeq$ significa "tener la misma distribución". Así que para que el problema esté bien planteado, es necesario que postulemos una distribución simétrica para la diferencia $D$ .

Ahora $$ G(u) =P(X-Y \le u) = \int_{-\infty}^\infty P(X \le u+Y \mid Y=y) f(y)\; dy \\ = \int F(u+y) f(y) \, dy $$ y por diferenciación wrt $u$ bajo el signo integral obtenemos $$ g(u) = \int f(u+y) f(y) \; dy $$ que es una ecuación integral. Pero, para un problema de probabilidad es más fácil formularlo en términos de la función generadora de momentos (fgm) de la diferencia, suponiendo que exista. Si no existe, podemos trabajar de la misma manera utilizando la función característica. Así que supongamos que la diferencia tiene mgf $M(t)$ y $X,Y$ tienen en común mgf $G(t)$ . Desde $D$ tiene una distribución simétrica, tenemos $$ \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{tD} = \E e^{-tD} = M(-t) $$ de modo que necesariamente $M(t)=M(-t)$ . También encontramos $$ M(T)= \E e^{t(X-Y)} = \E e^{tX} \E e^{-tY} = G(t) G(-t) $$ dando la ecuación $M(t) = G(t) G(-t)$ que podemos intentar resolver para $G(t)$ . Pero esto no es realmente suficiente, ya que nada garantiza que una función $G(t)$ ¡encontramos que way es un mgf para una distribución de probabilidad!

Veamos algunos ejemplos. Si $D$ tiene una distribución normal centrada con varianza 2, su mgf es $M(t)= e^{t^2} = \exp\left( \frac12 t^2 + \frac12 t^2\right)$ así que encontramos la solución $G(t) = e^{\frac12 t^2}$ que de hecho es el mgf de la distribución normal estándar.

Si $D$ tiene una distribución triangular centrada con función de densidad $$ f(x) =\begin{cases} 1-|x|,& |x| \le 1 \\ 0, & |x| > 1 \end{cases} $$ entonces su mgf es $M(t) = \frac{e^t-2+e^{-t}}{t^2}$ que puede factorizarse como $M(t) = \left(\frac{e^{t/2} - e^{-t/2}}{t}\right)^2$ dando el factor $G(t) = \frac{e^{t/2} - e^{-t/2}}{t}$ que es efectivamente el mgf de la distribución uniforme en el intervalo $(-1/2, 1/2)$ .

Ahora dejemos que $D$ tienen la distribución simétrica de Laplace con mgf (véase wikipedia) $M(t)=\frac1{1-t^2}= \frac1{1-t} \cdot \frac1{1+t}=G(t)G(-t)$ con $G(t)=\frac1{1-t}$ que es efectivamente el mgf de una distribución exponencial. En los dos primeros ejemplos, nuestra solución era simétrica, pero en este tercer ejemplo la solución es una distribución asimétrica. ¿Hay en este caso también una solución simétrica? podríamos intentar la solución alternativa $$ G(t) =\sqrt{\frac1{1-t^2}} $$ Pero, no sé si esto es un mgf válido de alguna distribución de probabilidad. Si lo es, habríamos demostrado que este problema no tiene necesariamente una solución única.

El OP no nos ha dicho de qué forma dispone de información sobre la distribución de $D$ . Si tiene una muestra iid de $D$ quizás podría calcular una estimación empírica de la función generadora de momentos, estimando $G(t)$ tomando la raíz cuadrada de la estimación de $M(t)$ y tratar de invertirlo aproximadamente utilizando una aproximación de punto de silla, véase ¿Cómo funciona la aproximación del punto de equilibrio?

Si quiere una respuesta mejor, necesitamos saber en qué forma está su información.