La copa de la Estructura del Producto en el Espacio Proyectivo

Question

Estoy leyendo sobre la copa de los productos y estoy atrapado en este ejercicio en Hatcher (3.2.5). Tomando como dado que el$H^*(\mathbb{R}P^\infty,\mathbb{Z}_2)\simeq\mathbb{Z}_2[\alpha]$, ¿cómo hace uno para mostrar $H^*(\mathbb{R}P^\infty,\mathbb{Z}_4)\simeq \mathbb{Z}_4[\alpha,\beta]/(2\alpha,2\beta,\alpha^2)$$\deg(\alpha)=1,\deg(\beta)=2$?

El cohomology grupos se $\mathbb{Z}_4$ en la posición 0 y $\mathbb{Z}_2$ en cualquier otra posición. Quiero encontrar la copa de la estructura del producto. Para hacer eso, necesito encontrar un cochain mapa de $f:C^\bullet(\mathbb{R}P^\infty,\mathbb{Z}_4)\rightarrow C^\bullet(\mathbb{R}P^\infty,\mathbb{Z}_2)$ inducida por el anillo de mapa de $\mathbb{Z}_4\rightarrow \mathbb{Z}_2$.

Los dos cochain complejos aspecto

$ \cdots {\leftarrow}\mathbb{Z}dimm_4\stackrel{0}{\leftarrow} \mathbb{Z}dimm_4\stackrel{2}{\leftarrow} \mathbb{Z}dimm_4\stackrel{0}{\leftarrow} \mathbb{Z}dimm_4\leftarrow 0 $

y

$ \cdots {\leftarrow}\mathbb{Z}_2\stackrel{0}{\leftarrow} \mathbb{Z}_2\stackrel{0}{\leftarrow} \mathbb{Z}_2\stackrel{0}{\leftarrow} \mathbb{Z}_2\leftarrow 0 $

Aquí están mis preguntas:

$\bullet$ ¿cuál es la inducida por la cochain mapa?

$\bullet$ Alguien me puede decir por qué $\alpha\cup \alpha=0$?

$\bullet$ ¿Por qué $\alpha\cup \beta$ generar en el grado 3?

Es allí una manera rápida para responder a estas geométricamente?

Answer 1

Mirando complejos vemos que la inducida por el mapa de cohomology grupos es un isomorfismo, incluso en grados y cero en impar grados (por lo que la notación es un poco engañoso: $\alpha$ mapas a $0$ e no $\alpha$). Por lo $\alpha^2=0$ (desde $f(\alpha^2)=f(\alpha)^2=0)$ y los poderes de $\beta$ generar incluso dimensiones cohomology.

La pregunta que queda es ¿por qué $\alpha\beta^n$ es distinto de cero. De Gysin secuencia exacta (ver Hatcher 4.D) para la esfera bundle $S^1\to S^\infty\to\mathbb RP^\infty$, $$ \ldots\H(S^\infty)=0\H^k(\mathbb RP^\infty)\H^{k+2}(\mathbb RP^\infty)\H(S^\infty)=0\a\ldots, $$ vemos que la multiplicación por $\beta$ da (por $k>0$) un isomorfismo $H^k(\mathbb RP^\infty)\to H^{k+2}(\mathbb RP^\infty)$. QED. (Pero ciertamente Hatcher había algún otro argumento en mente...)