La equivalencia en el ejercicio es de hecho falso: desde $A$ $K$- álgebra (se multiplican los elementos de $K\otimes_k K$ por elementos de $K$ a través de la izquierda factor, digamos) , por lo que es $A/J(A)$ que así puede nunca igual $k$ si la extensión
$k\subset K$ no es trivial.
Usted está también a la derecha que para cualquier finito-dimensional extensión de $k\to K$, puramente inseparable o no, $A/J(A)$ es isomorfo al producto $\Pi F_i$ de un número finito (tal vez igual a uno!) de campo extensiones $K\to F_i$ (esto se deduce del Teorema del Resto Chino).
Observe también que desde $A$ es finito-dimensional sobre $K$, es un artinian anillo, de manera que el Jacobson radical coincide con el nilpotent radical : $J(A)=Nil(A)$.
La implicación correcta es (como usted sugiere) : $$\quad K/k \:\;\text {is purely inseparable} \Leftrightarrow A/Nil(A) =K$$
Editar
Ya que me parece que esta equivalencia es bastante difícil, voy a actualizar mi anterior indicaciones para una breve prueba.
$\boxed {\Longleftarrow}$
Note primero que la hipótesis de las fuerzas de $A=K\oplus Nil(A)$.
Considerar la separables parte de su extensión: $k\subset K_{sep }\subset K$.
Desde $K\otimes _k K_{sep }\subset K\otimes _k K$ es reducido (extensiones separables son universalmente reducido!) debemos tener $ K\otimes _k K_{sep }=K \subset K\oplus Nil(A)$ e lo $K_{sep }=k$, por lo que el $k\subset K$ es de hecho puramente inseparable.
$\boxed {\Longrightarrow}$
Esto es suficiente para mostrar que cada elemento de a $ K\otimes_k K\setminus K\otimes_k k$
es nilpotent.
Y que para ello es suficiente para mostrar que para cualquier $b\in K$ el conjunto $ K\otimes_k k(b) \setminus K\otimes_k k$ está compuesto de nilpotents de $K\otimes_k k(b) $.
Pero $k(b) \simeq k[T]/(T^{p^r}-q) \;\; (q\in k, q=b^{p^r})$ pura de inseparabilidad y de lo $K\otimes_k k(b) \simeq K[T]/(T^{p^r}-q) =K[T]/(T-b)^{p^r}$
En la última isomorfismo el conjunto $ K\otimes_k k(b) \setminus K\otimes_k k$ corresponde al conjunto $K[T]/(T-b)^{p^r} \setminus K$, y este último conjunto es de hecho, compuesta de nilpotents. Más precisamente, es el nilpotent radicales $(\bar T-b)$ de
$K[T]/(T-b)^{p^r}$.
