Si $p$ no es real cero del polinomio, a continuación, el mapa de $x\mapsto \frac{1}{p(x)}$ es uniformemente continua sobre la $\mathbb{R}$

Question

Deje $p(x)$ ser un no-constante polinomio con coeficientes reales tales que a $p(x) \neq 0$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Definir $f(x)=\frac{1}{p(x)}$ todos los $x \in \mathbb{R}$. Demostrar que,

1. para cada una de las $\epsilon >0$ existe $\alpha>0$ tal que $|f(x)|<\epsilon$ siempre $|x|>\alpha$, y
2. $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es uniformemente continua.

Sobre la forma de solucionar el problema anterior tuve la oportunidad de probar la primera afirmación. Pero no puedo conseguir a través de la segunda afirmación. Sé que si soy capaz de demostrar que $f$ satisface la condición de Lipschitz, entonces, se hará. Así, supuse que $p(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ y el tratado de mostrar $$|f(x)-f(y)|=\left|\frac{1}{p(x)}-\frac{1}{p(y)}\right|\\= |x-y|\Big|\frac{a_1(x+y)+a_2(x^2+xy+y^2)+\cdots +a_n(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})}{p(x)p(y)}\Big|\leq |x-y|.$$ Pero no sé cómo mostrar $\Big|\frac{a_1(x+y)+a_2(x^2+xy+y^2)+\cdots +a_n(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1})}{p(x)p(y)}\Big|\leq 1$.

Obviamente, esta función puede no estar en absoluto de Lipschitz y tal vez sólo estoy persiguiendo ganso salvaje; pero cualquier ayuda con respecto a esto será valorado. Saludos.

[Fuente: Este problema se puede encontrar aquí (Pregunta 20).]

Answer 1

Chris Águila y julien sugerencias de los comentarios son buenos. Su idea de mostrar que $f$ es realmente Lipschitz también es bueno. Una manera de hacerlo es utilizar la derivada.

Tenga en cuenta que $f'(x)=\dfrac{-p'(x)}{p(x)^2}$. Debido a $p'$ tiene grado menor que $p^2$, $\lim\limits_{|x|\to \infty}f'(x)=0$. Se sigue de esto que $f'$ es limitado (es limitada limitada intervalos de continuidad). A continuación, se deduce del Valor medio Teorema que $f$ es de Lipschitz.