Cómo probar $\left(\frac{n}{3}\right)^n\leq\frac{1}{3}n!$

Question

se me pide para probar esta afirmación:

$$\left(\frac{n}{3}\right)^n\leq\frac{1}{3}n!$$

Ahora, después de varios intentos, yo estoy perdido sin saber a dónde y cómo empezar. si yo uso la inducción, estoy atascado en el camino. ¿cómo puedo resolver esto de una manera fácil? tengo enormes dificultades cuando tengo que encontrar algo que es más grande que el último término, debido a que me falta algo importante fuente de matemáticas en mi cerebro. estoy muy propensos a dar hasta en el camino si se vuelve difícil. para cualquier orientación de cómo superar esta fase estaría muy muy agradecido. estoy tratando de proficiencia en matemáticas. Gracias

Answer 1

$$\left(\frac{n}{3}\right)^n\leq\frac{n!}{3}\Longleftrightarrow X_n:=\frac{n^n}{3^{n-1}n!}\leq 1$$

Pero

$$\frac{X_{n+1}}{X_n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{3^n(n+1)!}\cdot\frac{3^{n-1}n!}{n^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\frac{1}{3}\xrightarrow [n\to\infty]{}\frac{e}{3}<1$$

Que converge la serie positiva infinita $\,\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty X_n}\,$ y así $\,X_n\xrightarrow[n\to\infty]{}0\Longrightarrow X_n<1\,$, por lo menos

de un cierto índice $\,n\,$.

Answer 2

Si consideramos el término pasado en la expansión de Taylor de $e^x$, tenga $$e^x\ge\frac{x^n}{n!}$ $ y $x=n$ $$e^n\ge\frac{n^n}{n!}$ $ que y sigue a la conclusión.

Answer 3

Nos gustaría probar

$$\left(\frac{n}{3}\right)^n \leq \frac{1}{3}n!.$$

Esto es equivalente a

$$n^{n-1} \leq 3^{n-1}(n-1)!.$$

Es obviosly cierto para $n = 1$. Sin embargo, como $n$ aumenta, el lado izquierdo se eleva más lento que el lado derecho (así, la desigualdad se mantienen todavía). Para poner esto formalmente, considerar la relación de

$$\frac{(n+1)^{n}}{(n)^{n-1}} \leq \frac{3^{n}n!}{3^{n-1}(n-1)!} = 3n$$

que se simplifica a

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \leq 3.$$

y es cierto, porque la $\left(1+\frac1n\right)^n$ es el aumento en el $n$ (por ejemplo, ver este post) y converge a $e < 3$.

Saludos!

Answer 4

Usando logaritmos, el $ \left( \frac{n}{3} \right)^n \leq \frac{1}{3} n!$ de la desigualdad es equivalente a $\sum\limits_{k=1}^{n-1} \ln \left( \frac{3k}{n} \right) \geq 0$. Pero $$\sum\limits_{k=1}^{n-1} \ln \left( \frac{3k}{n} \right) \geq 1+ \int_1^{n-1} \ln \left( \frac{3x}{n} \right) dx = 1+ (n-1) \ln \left( \frac{3(n-1)}{ne} \right) >0$$ for $ n > 5$.

Answer 5

Primero a demostrar que

$(\frac{k+1}{3})^k\leq k!\Leftrightarrow (k+1)^k\leq 3^k k!$

base de la inducción: $k=0$ es cierto

Si es verdad $k$ a probar es verdad $k+1$: es decir $3^{k+1}(k+1)!\geq (k+2)^{k+1}$.

$3^{k+1}(k+1)!=3(k+1)3^{k}k!\geq 3(k+1)(k+1)^k=3(k+1)^{k+1}\geq (k+2)^{k+1}$.

Desde $3(k+1)^{k+1}\geq (k+2)^{k+1}\Leftrightarrow log 3(k+1)^{k+1}\geq log (k+2)^{k+1} \Leftrightarrow (k+1)log 3(k+1)\geq (k+1) log(k+2)\Leftrightarrow log\frac{3k+3}{k+2}\geq 0$.

que es cierto

Para la conclusión de la cañería ahora:

$n=0$ Es cierto.

Supongamos que es verdad $n=k$

$(\frac{k}{3})^k\leq \frac{1}{3}k!$

voy probar es verdad $n=k+1$

$(\frac{k+1}{3})^{k+1}=(\frac{k+1}{3})^k\cdot\frac{k+1}{3}\leq k!\cdot \frac{1}{3} (k+1) =\frac{1}{3}(k+1)! $

Por inducción es verdadera para todos los $n\in\mathbb{N}$.