¿Qué quería realmente Hilbert para su segundo problema?

Question

Cuando leo sobre los antecedentes históricos de los teoremas de incompletitud de Gödel, a menudo se menciona que él respondía esencialmente a Hilbert, que intentaba demostrar la consistencia de la Aritmética (de Peano). Un libro de texto que leí hace un tiempo sugería que estaba tratando de hacerlo desde dentro de la AP o algún subconjunto de la misma, ya que un sistema más fuerte sería aún más probable que contenga una inconsistencia que la propia AP. En particular, esto se describe como el segundo problema de Hilbert.

Pero eso no tiene ningún sentido para mí. Si PA es inconsistente, entonces por el principio de explosión, PA demuestra que PA es consistente, por lo que una prueba de consistencia de PA escrita en PA no tiene valor (en la medida en que PA podría seguir siendo inconsistente a pesar de la prueba). El principio de explosión es mucho más antiguo que los teoremas de Gödel, y seguramente Hilbert lo conocía.

¿Qué quería Hilbert como solución a su segundo problema? Dado que $\mathrm{PA}\vdash Con(\mathrm{PA})$ no sería suficiente, ¿qué esperaba ver en el lado izquierdo del torniquete?

En otras discusiones sobre este problema, a veces encuentro la palabra "finitismo", pero no estoy seguro de lo que realmente significa en este contexto. No importa qué teoría utilices, vas a seguir dudando de su consistencia, ¿no? ¿Cuándo termina?

Answer 1

Lo que Hilbert quería en el lado izquierdo del torniquete era algo que fuera "obviamente" consistente. La historia ha sido difícil para el programa de Hilbert, por lo que no es tan fácil ver lo que buscaba desde una perspectiva moderna. Pero es importante recordar que los teoremas de incompletitud fueron, en cierto modo, completamente inesperados. La idea de que algunas cosas puedan ser incognoscibles o injustificables para siempre sigue siendo controvertida, pero para Hilbert habría sido impensable.

Un ejemplo de teoría comúnmente aceptada como finitista es la aritmética recursiva primitiva (ARP). En una axiomatización común, esta teoría no tiene ningún cuantificador en su lenguaje, sólo una gran colección de símbolos de funciones con definiciones explícitas. La consistencia de la ARP es mucho menos difícil de ver que la consistencia de la AP -- la ARP es, posiblemente, "obviamente consistente". Desde el punto de vista de Hilbert, no habría sido inconcebible que PRA pudiera demostrar la consistencia de PA. Sólo el teorema de incompletitud demostró que esto era imposible.

También podemos fijarnos en la historia de la teoría de modelos, que como campo tampoco estaba bien establecido en la época en que Hilbert estaba activo. El teorema de Lowenheim--Skolem, por ejemplo, se desarrolló a trompicones, y no fue muy bien entendido ni siquiera en los años 30. El método de Henkin para generar modelos de teorías consistentes, que ahora se enseña en los cursos básicos, no apareció hasta 1949. La prueba de Gödel del teorema de completitud en 1929 era mucho más complicada y no ofrecía la misma imagen conceptual clara que la prueba de Henkin. Así que nuestra intuición moderna sobre la facilidad de construir modelos no estándar no habría sido clara para Hilbert.

Hilbert describió las teorías "obviamente consistentes" que le interesaban como "finitismo". Hay cierto consenso general en que el finitismo de Hilbert corresponde a la ARP, aunque esto no es aceptado universalmente entre los filósofos. En cualquier caso, la ARP es un ejemplo del tipo de teoría que le interesaba a Hilbert.

Hilbert ciertamente se habría dado cuenta de que la prueba de consistencia de la AP dentro de la AP no es muy útil -- pero habría pensado que debería ser posible probar la consistencia de la AP en una teoría más débil. Gödel demostró que esto no se puede hacer ni siquiera en AP, lo que cubre el objetivo de Hilbert y más.

Una cuestión algo distinta es que probablemente no estaba claro, antes del trabajo de Gödel y Turing, que la AP pueda formalizar cualquier teoría finitista, y por tanto cualquier teoría finitista será necesariamente más débil que la AP. Así que también podría haber sido plausible que hubiera una teoría finitista que pudiera demostrar la consistencia de PA sin ser realmente más débil que PA en un sentido formal. Algunas personas siguen buscando tales teorías hoy en día; véase Programa de Hilbert en la Enciclopedia Stanford de Filosofía.

Ahora sabemos que puede cambiar la complejidad de PA por otro tipo de complejidad, si queremos demostrar la consistencia de PA en teorías que no son ni más débiles ni más fuertes que PA. La prueba de consistencia de Gentzen de PA cambia el esquema de inducción por la inducción transfinita sin cuantificadores. La prueba de Gödel Dialéctica La prueba de consistencia de PA cambia el esquema de inducción por una generalización de PRA a objetos de tipo superior, en una teoría sin cuantificadores conocida como Sistema T. Ninguna de ellas se considera generalmente "finitista", pero ambas reducen la consistencia de PA a una teoría que es, en cierto modo, más "obviamente" consistente.