¿Hay una fórmula para el vector de rotación en términos de los vectores de velocidad angular?

Question

El teorema de Euler de las rotaciones de los estados que para el movimiento de cuerpo rígido con un punto fijo es equivalente a una rotación alrededor de algún eje que pasa a través de ese punto fijo. Así que vamos a considerar un cuerpo rígido con un punto fijo, y para cualquier momento $t$ deje $\vec{\alpha}(t)$ denotar la "rotación del vector" de la rotación correspondiente a la rígida del cuerpo de movimiento entre el tiempo de la $t_0$ y el tiempo de $t$. Para los que no saben, la rotación del vector de una rotación es un vector cuya magnitud es igual al ángulo de la rotación y que los puntos a lo largo del eje de la rotación; consulte este artículo de la Wikipedia.

Ahora, debido a la no-conmutativa de la naturaleza de la rotación, la velocidad angular de la $\vec{\omega}(t)$ no, en general, igual el tiempo derivado de la $\vec{\alpha}(t)$ como uno podría esperar intuitivamente. La relación entre los dos es bastante más complicado, como se muestra en este diario de papel por Asher Peres: $$\vec{\omega}= \dot{\vec{\alpha}} + \frac{1 - \cos \alpha}{\alpha^2} \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right) + \frac{\alpha - \sin \alpha}{\alpha^3} \left(\vec{\alpha} \times \left(\vec{\alpha} \times \dot{\vec{\alpha}}\right)\right)\,$$

Ahora esta es una fórmula para la velocidad angular del vector en términos de la rotación del vector y su tiempo derivativo. Pero mi pregunta es, ¿hay una fórmula para la rotación del vector en términos de la velocidad angular del vector? Es decir, si supieras lo $\vec{\omega}(t)$ fue para todas las épocas $t$, es posible calcular cuál $\vec{\alpha}(t)$ para cualquier valor dado de valor de $t$.

Si las rotaciones fueron conmutativa, por supuesto, sólo podía integrar a $\vec{\omega}(t)$$t_0$$t$. Pero ellos no son, por lo tanto, algo más complicado puede ser requerido. Un pensamiento que tuve fue que en mi pregunta y de la respuesta aquí me dio la fórmula para la composición de dos rotación de los vectores. Así que lo que usted podría hacer es para cada intervalo de tiempo infinitesimal $[t,t+\mathrm dt]$, se puede tomar el vector de rotación del cuerpo rígido del movimiento durante ese intervalo de tiempo, el cual es dado por $\vec{\omega}(t)~\mathrm dt$ (como se puede ver aquí). Y entonces, en principio, usted podría componer todos aquellos infinidad de $\vec{\omega}(t)~\mathrm dt$'s juntos. Pero ¿alguien sabe la forma en que funcione?

EDIT: Para que quede claro, quiero una expresión explícita para la rotación del vector en términos de la velocidad angular del vector que no hace referencia a matrices. Si uno quería usar matrices, se podría convertir la velocidad angular del vector de un sesgo de simetría de la matriz, el uso de los ordenados en el tiempo exponencial para obtener la matriz de rotación, usar el registro de mapa para obtener un sesgo de simetría de la matriz correspondiente a $\alpha$, y luego convertirlo a una rotación del vector. Pero ese no es el tipo de cosa que estoy buscando, quiero una fórmula exclusivamente en términos de operaciones vectoriales.

Answer 1

Voy a tratar de dar aquí una respuesta parcial a la pregunta. No estoy seguro si es interesante en sí mismo, pero puede proporcionar una sugerencia para un mayor desarrollo. Posiblemente su lugar estaría dentro de un comentario, pero los comentarios son de una longitud limitada y no encajar.

Vamos a definir $\alpha (t_0,t)$ $\alpha (t)$ a partir de la pregunta relativa a la $t_0$. Podemos identificar la rotación del vector con la rotación de la misma. Para$t_i = t_0 + i\ dt$$t = t_0 + n\ dt$, tenemos por una simple composición de las sucesivas rotaciones $$\alpha (t_0,t) = \prod_{i=n-1}^{0} \alpha (t_i,t_{i+1}).$$ Sabemos que a partir de esta pregunta/respuesta que $\partial_2 \alpha (t,t) = \omega(t)$ todos los $t$. El uso de $\alpha (t,t+dt) = I+\partial_2 \alpha (t,t)\ dt + o(dt) = I+\omega(t)\ dt + o(dt)$, tenemos $$\alpha (t_0,t) = \prod_{i=n-1}^{0} I+\omega(t_i)\ dt + o(dt).$$ Esto proporciona por la forma en que un método numérico que expresan $\alpha$ en términos de $\omega$.

En el caso muy especial en el que todas estas rotaciones conmutar (ejemplo de eje común), el límite es de una exponencial: llevar el registro y el límite al $dt \to 0$, tenemos $$\log (\alpha (t_0,t)) = \sum_{i=n-1}^{0} \omega(t_i)\ dt + o(dt) \to \int_{t_0}^{t} \omega(s) \ ds,$$ por lo tanto $$\alpha (t_0,t) = \exp \left( \int_{t_0}^{t} \omega(s) \ ds \right).$$

En la general no conmutativa caso, el registro implicará la Mentira soportes de la partida con $dt^2[\omega(t_i),\ \omega(t_j)]$ (cf. Dynkin de la fórmula), y un poco más de coraje parece necesario.

EDIT: de acuerdo con un comentario a continuación de Keshav Srinivasan, la expresión anterior se convierte en el general no conmutativa caso $$\alpha (t_0,t) = \operatorname{OE}[\omega](t_0,t)= \mathcal{T} \left\{e^{\int_{t_0}^{t} \omega(s) \, ds}\right\},$$ ver Ordenó exponencial para la definición de $\operatorname{OE}[\omega](t)$. Aunque esta no es una respuesta exacta a la pregunta, ya que implica la rotación de las matrices en lugar de la rotación de los vectores.

Answer 2

Estoy totalmente de acuerdo con el usuario ja72 a la zanja de vector de la notación y el trabajo Mentira teóricamente. Representamos $\alpha$ $\omega$ $3\times3$ skew-matrices simétricas en la Mentira de álgebra $\mathfrak{so}(3)$; el total de la rotación es el $3\times3$ rotación ortogonal de la matriz $\exp(\alpha(t))$ e instantáneos de la velocidad angular es $\omega = \left.\mathrm{d}_\tau\left(e^{-\alpha(t)}\,\exp(\alpha(t+\tau)\right)\right|_{\tau=0}$. Como matrices, $\alpha$ $\omega$ representan las acciones de la cruzada de productos en el vector de notación: esto es lo que ja72 significa en su comentario:

Tenga en cuenta que el 3×3 anti-simétrica la matriz mencionada es $[\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \times] = \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}$ si no desea utilizar el tensor de la notación para los productos cruzados (como en el papel). El de arriba da $[\vec{a} \times] \vec{b} \equiv \vec{a} \times \vec{b}$

Podemos hacer lo que quieras, utilizando la fórmula general para la derivada de una Mentira miembro del grupo $\omega = \left.\mathrm{d}_\tau\left(e^{-\alpha(t)}\,\exp(\alpha(t+\tau)\right)\right|_{\tau=0}$ que es afirmado y demostrado como Teorema 1.5 en la sección 1.2 de Rossmann, "Mentira Grupos: Una Introducción a través de los Grupos Lineares":

$$\omega(t) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\,\mathrm{ad}(\alpha(t))^k}{(k+1)!}\,\dot{\alpha}(t)$$

La notación $\mathrm{ad}(\alpha(t))^k\,\dot{\alpha}(t)$ medios para repetir la Mentira de soporte de mapeo $\dot{\alpha}\mapsto[\alpha,\,\dot{\alpha}]$ $k$ iteraciones.

Debido a que el operador:

$$\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\,\mathrm{ad}(\alpha(t))^k}{(k+1)!}$$

es la identidad del operador en $t=0$ (cuando no ha habido rotación y $\exp(\alpha(t))=\mathrm{id}$) y desde entonces su determinante es una función continua de $t$, hay algunos distinto de cero intervalo de tiempo $[0,\,\epsilon]$, en donde el operador puede ser invertida. Así, si se le $\omega(t)$ luego de algunos distinto de cero intervalo de tiempo que usted puede integrar (probablemente numéricamente):

$$\dot{\alpha}(t) = \left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k\,\mathrm{ad}(\alpha(t))^k}{(k+1)!}\right)^{-1}\omega(t)$$

y seguir la pista de las $\alpha(t)$ y el determinante de la invertida operador en todo momento. Cuando el determinante se hace más pequeño de lo que algunos "peligro" de umbral, se debe hacer una nota de la rotación del vector y el operador, realinear sus coordenadas, de modo que la rotación de haber alcanzado se convierte en el dato de orientación, y comenzar de nuevo. Al final del proceso, usted tendrá su total rotación del vector y la rotación del operador como un producto de la rotación de los operadores, cada uno calculado mediante el procedimiento anterior.

Answer 3

Este ángulo eje vector $\vec{\theta} = \theta\, \hat{e}$ tiene derivado basado en la regla de la cadena

$$\dot{\vec{\theta}} = \dot{\theta} \hat{e} + \theta \dot{\hat{e}} = \dot{\theta} \hat{e} + \theta \,\vec{\omega} \times \hat{e}$$

Así que tienes que %#% $ #%

Pero ¿qué es $$ \vec{\omega} \times \hat{e} =\frac{ \dot{\vec{\theta}} - \dot{\theta} \hat{e}}{\theta}$? Encontrará con %#%$ #%

Así que ahora usted tiene esta expresión

$\dot{\theta}$$

_{... Esto es culo como fui...}