Muestra que $\lim_{n\to\infty}n\int_0^1f(x)g(x^n)dx=f(1)\int_0^1\frac{g(x)}{x}dx$

Question

Sea $g:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$ una función continua, y $\lim_{x\to0^+}g(x)/x$ existe y es finito. Demuestra que para todo $\forall f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$,

$$\lim_{n\to\infty}n\int_0^1f(x)g(x^n)dx=f(1)\int_0^1\frac{g(x)}{x}dx$$

Answer 1

Soy un poco tarde para unirme al juego y veo que esta sugerencia ya ha sido hecha, pero llevémosla a cabo.

Sea $y=x^n$, $x=y^{1/n}$, $dy = (1/n) y^{1/n} dy/y$. Entonces

$$n \int_0^1 dx \: f(x) g(x^n) = \int_0^1 \frac{dy}{y} y^{1/n} f(y^{1/n}) g(y)$$

A medida que $n \rightarrow \infty$, $y^{1/n} \rightarrow 1 \forall y \in (0,1]$; es decir, excepto en $y=0$; sin embargo, dado que este es un punto aislado (es decir, de medida cero), entonces tenemos

$$\lim_{n \rightarrow \infty} n \int_0^1 dx \: f(x) g(x^n) = f(1) \int_0^1 dy \frac{g(y)}{y}$$

como se quería demostrar.

Answer 2

Sea $f(x)$ una función que posee una expansión en series de potencias, tal que $\forall f:[0,1]\mapsto\mathbb{R}$, entonces para $f(x) = \sum_{k \geq 0} a_{k} x^{k}$, \begin{align} L &= \lim_{n\to\infty}n\int_0^1f(x)g(x^n)dx = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \, \lim_{n \to \infty} n \, \int_{0}^{1} x^{k} \, g(x^{n}) \, dx. \end{align} Haciendo la sustitución $t = x^{n}$ para obtener \begin{align} L &= \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \, \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} t^{\frac{k+1}{n} - 1} \, g(t) \, dt \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} \, \int_{0}^{1} \frac{g(t) \, dt}{t} \\ &= f(1) \, \int_{0}^{1} \frac{g(t) \, dt}{t}. \end{align> Este es el resultado deseado.