Esto va a ser una pregunta vaga. Parece que la geometría enumerativa personas realmente como sus espacios de moduli para ser compacto (proyectivo). Por ejemplo tan pronto como mencionamos $M_{0,n}$ empezamos hablando de encontrar una buena opción para $\overline{M_{0,n}}$, etc.. Podría alguien explicar ¿qué es exactamente el punto de hacerlo, excepto espacios compactos siendo "mejor"? ¿Tal vez con un ejemplo concreto del uso de la compacidad de un espacio de móduli para terminar algo bueno? Long-windedness se agradeceria.
Respuestas
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Una línea de respuesta: Módulos espacios deben ser compacto, por lo que usted tiene acceso a una sólida intersección de la teoría sobre ellos.
La idea básica es que las respuestas a enumerativa de problemas mediante el cálculo del número de puntos de intersección de una colección de subvariedades del espacio de moduli que cruzan transversalmente (es decir, están en una posición en general). Con el fin de realmente entender cómo estas subvariedades se cruzan, es a menudo deseable para deformar uno o más de ellos, de modo que la colección se encuentra en algunas de configuración especial. En orden para ir a cualquier lugar, usted necesita una intersección de la teoría que tiene la propiedad de que si una subvariedad $V$ puede ser deformado a una subvariedad $V'$, entonces para cualquier otra subvariedad $W$, la intersección del producto $V \cdot W$ (exactamente lo que es) debe ser igual a la intersección de producto $V' \cdot W$.
La compacidad es necesario para asegurar que cuando se deforman de una variedad a otra, algunos de los puntos de intersección que no se mueven off "hasta el infinito" y desaparecen. Por ejemplo, supongamos que desea se cruzan dos líneas en el plano afín. Si están en "situación general", que se reunirá en un solo punto, pero si deformar una línea que es paralela a la otra, que ya no se cruzan (el punto de intersección se ha movido a la "línea al infinito" en el plano proyectivo - que es un producto natural compactification del plano afín). Así que no hemos podido producir una intersección teoría de que es invariante bajo deformaciones.
Lo que lleva mucho más trabajo es mostrar que si usted tiene un espacio compacto, entonces usted puede construir una intersección teoría de que es invariante bajo deformaciones. Una buena introducción a encuesta a la intersección de la teoría se encuentra en el Apéndice a de Hartshorne de la Geometría Algebraica.
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Me da la sensación que compactación añade casos limitantes. Tomemos por ejemplo $M_g$, el espacio de moduli de curvas algebraicas suaves del género $g$. Conpactifying de que este espacio nos permite añadir algunas curvas con nodos que, aunque no son miembros de $M_g$, pueden considerarse como limitación los casos.
