Mostrar que el functor abelianization es justo exacto

Question

Tengo una tarea cuestión que no entiendo para un resumen clase de álgebra. Hemos cubierto el primer par de capítulos en Dummit y Foote (en grupos). También, yo no sé nada de functors además de lo que se da a continuación. Nos dijeron que no deberíamos necesidad de la definición formal de un functor.

Un functor $F$ es derecho exacta de si, dada una secuencia $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ que es exacta en $B$ y $C$, $F(A) \rightarrow F(B) \rightarrow F(C) \rightarrow 0$ es exacto a $B$$C$.

Mostrar que la abelianization functor F que asigna a $A \rightarrow B$ $A/[A,A] \rightarrow B/[B,B]$es derecho exacta.

Supongo que mi pregunta es, realmente, ¿qué diablos es esta diciendo!? Esta notación es un poco nuevo, así que ahora estoy interpretar esto como $A$, $B$, y $C$, siendo los grupos con cada flecha representa un homomorphism. Si este es el caso, ¿qué es exactamente $F(A)$? Se parece a $F$ mapas de un homomorphism a otro homomorphism, entonces, ¿qué es $F(A)$ si es un grupo?

Cualquier ayuda que se aclare esta cuestión, sería muy apreciado.

Answer 1

Dado un homomorphism de grupos de $f:G\to H$ uno puede componer con el mapa de proyección $H\to H^{\text{ab}}$ para obtener un homomorphism $G\to H^{\text{ab}}$. Pero, puesto que el $H^{\text{ab}}$ este mapa de factores a través de $G^\text{ab}$ que nos da un mapa de $f^{\text{ab}}:G^\text{ab}\to H^\text{ab}$.

Explícitamente

$$f^\text{ab}(a+[G,G])=f(a)+[H,H]$$

Usted necesita para mostrar la siguiente:

Si

$$A\xrightarrow{f} B\xrightarrow{g} C\to 0$$

es exacta, entonces

$$A^\text{ab}\xrightarrow{f^\text{ab}}B^\text{ab}\xrightarrow{g^\text{ab}}C^\text{ab}\to 0$$

también es exacta.

Os dejo el real de la verificación de esto para usted. No es tan malo, pero siéntase libre de dejarme saber si quieres más consejos, que yo estaré encantado de suministro.