¿Cómo escribe esta cantidad en notación de sumatoria?

Question

$$\sum_{n=?}^\infty \left(\frac{x^n}{?}\right) = \frac{x^0}{1} + \frac{x^1}{x^2 -1}+\frac{x^2}{x^4 - x^2 +1}+\frac{x^3}{x^6 -x^4 + x^2 -1}+\frac{x^4}{x^8-x^6 +x^4 - x^2 +1}+\cdots$$

Estoy seguro tengo el numerador de la suma, $x^n$ correcto, pero no sé cómo escribir el denominador debido a los signos alternados en cada término. En cuanto al punto de partida, $n=?$, creo que va ser o $0$ o $1$, según el denominador - no quiero ser expulsado de este sitio por intentar dividir por $0$.

Answer 1

Los denominadores alternan signos, pero son de la forma

$$\sum_{k=0}^m (-1)^k x^{2 k} = \frac{(-1)^{m+1} x^{2(m+1)}-1}{x^2+1}$$

La suma puede escribirse entonces como

$$(x^2+1) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^n}{(-1)^{n+1} x^{2(n+1)}-1} = -(x^2+1) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{x^{2(n+1)}+(-1)^n}$$

Debo señalar que la convergencia se logra cuando $|x|<1$ cuando $x$ es real.

Answer 2

SUGERENCIA

Los denominadores de cada término, excepto el primero, son las sumas de alternancias de poderes incluso.

\begin{array} .x^2-1 &\equiv& x^2 - x^0 \\ x^4-x^2+1 &\equiv& x^4 - x^2 + x^0 \\ x^6-x^4+x^2-1 &\equiv& x^6-x^4+x^2-x^0 \end{matriz}

Poniendo éstos en notación sumatoria:\begin{array} .x^2-x^0 &\equiv& \sum_{k=0}^1 (-1)^{k}x^{2(1-k)} \\ \\ x^4-x^2+x^0 &\equiv& \sum_{k=0}^2 (-1)^{k}x^{2(2-k)} \\ \\ x^6-x^4+x^2-x^0 &\equiv& \sum_{k=0}^3 (-1)^{k}x^{2(3-k)} \\ \\ \cdots\cdots\cdots &\equiv& \sum_{r=1}^n\sum_{k=0}^r(-1)^kx^{2(r-k)} \end{matriz}

Answer 3

Una vez que te das cuenta de que los denominadores son las sumas de las potencias de $-x^2$, esto se convierte en fácil. Usted tiene $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\sum_{i=0}^n(-x^2)^i}. $$ En realidad que el denominador es una serie geométrica, que puede ser escrito de forma explícita sin suma (siempre que $X=-x^2\neq1$) con $$ \sum_{i=0}^nX^i=\frac{1-X^{n+1}}{1-X}, $$ lo que da una fracción en el denominador, que puede ser eliminado por simple álgebra $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\sum_{i=0}^n(-x^2)^i} =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{\frac{1-(-x^2)^{n+1}}{1-(-x^2)}} =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n(1+x^2)}{1-(-x^2)^{n+1}} =(1+x^2)\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{1-(-x^2)^{n+1}}. $$ Después de esto no estoy seguro de si se puede ser más simplificado.