Intentaba demostrar esta afirmación:
Si $N: V \to V$ es un operador nilpotente en un espacio vectorial complejo, $N^k=0$ y $U\subset V$ es un subespacio con $U \cap \ker(N^{k-1})= \{0\}$ entonces existe un subespacio $W \subset V$ avec $NW \subset W$ y $V=W\oplus (U + NU + N^2U + \dots +N^{k-1}U)$ .
¿Puede decirme, por favor, si mi prueba está bien?
Prueba por inducción en $\dim(V)$ . Caso base: Si $\dim(V) = 1$ entonces la afirmación es verdadera porque todo subespacio es $\{0\}$ o $V$ . Supongamos que la afirmación es verdadera si $\dim(V) = n-1$ .
Si $\dim(V) = n$ entonces porque $V$ es un espacio vectorial complejo $N$ tiene un vector propio: $Nw = \lambda w$ . Dos casos: O bien $w \in U$ o $w \notin U$ .
1) Si $w \notin U$ : Entonces $\tilde{V} = V \setminus span(w)$ es un espacio que satisface la hipótesis de inducción (para $\tilde{N} = N\mid_{\tilde{V}}$ ). Por lo tanto, existe $\tilde{W}\subset\tilde{V}$ avec $\tilde{V}=\tilde{W}\oplus(U + NU +\dots +N^{k-1}U)$ y $N\tilde{W} \subset \tilde{W}$ . Entonces (para $W=\operatorname{span}(w)+\tilde{W}$ ) $V= W\oplus (U+NU+\dots+N^{k-1}U)$ y $NW \subset W$ .
2) Si $w \in U$ : Entonces $\tilde{V} = V \setminus \operatorname{span}(w)$ es un espacio que satisface la hipótesis de inducción con $\tilde{U}=U\setminus \operatorname{span}(w)$ . Por lo tanto, existe $\tilde{W}\subset\tilde{V}$ avec $\tilde{V}=\tilde{W}\oplus(\tilde{U} + N\tilde{U} +...N^{k-1}\tilde{U})$ y $N\tilde{W} \subset \tilde{W}$ . Entonces $V= \tilde{W}\oplus (U+NU+....+N^{k-1}U)$ .
