Encontrar el valor de $\sin {\frac{31 \pi}3}$

Question

La tarea consistía en averiguar el valor de $$\sin\frac{31\pi}3$$

Este es un ejemplo en mi libro en el que se muestran los siguientes pasos: $$\begin{align} \sin\frac{31\pi}3& =\sin\left(10\pi +\frac\pi3\right)\\ &=\sin\frac\pi3\\ &=\frac{\sqrt3}2 \end{align}$$

No logro entender el paso 3, $=\sin\frac\pi3$

Answer 1

La función seno es periódica con período $2\pi$. Esto significa que $\sin\theta = \sin(\theta + 2\pi) \ \forall \ \theta$. Uno puede aplicar esta identidad cinco veces para eliminar el término $10 \pi$.

Answer 2

La función seno es periódica con período $2\pi$. Una función periódica es una función que repite sus valores en intervalos regulares o períodos. Se dice que una función es periódica con período $P$, donde $P$ es una constante distinta de cero si tenemos $$ f(x+P) = f(x) $$ para todos los valores de $x$ en el dominio. Por lo tanto $$ \sin(n\pi+\theta)=\left\{ \begin{array}{l l} \sin\theta & ;\quad \text{si $n$ es par},\\ \\ -\sin\theta & ;\quad \text{si $n$ es impar}. \end{array} \right. $$

Answer 3

Los múltiplos de $2\pi$ no importan porque $\sin$ es periódica con periodo de $2\pi$.

Answer 4

Piensa en el círculo unitario y la definición de $\sin$: Una línea recta dibujada desde el origen con un ángulo entre el eje $x$ de $\theta$ interseca el círculo unitario en $(\cos \theta, \sin \theta)$.

Supongamos que tienes un punto en el círculo unitario en $(\cos \theta, \sin \theta)$. Si la línea que forma el ángulo $\theta$ desde el origen da una vuelta completa (gira alrededor del origen en una medida de $2\pi$), entonces terminará en la misma posición. Por lo tanto, $\sin n = \sin (2\pi + n) = \sin (n - 2\pi)$.

Answer 5

Puedes confirmarlo usando la fórmula de la suma de ángulos:

$$\begin{align} \sin(10\pi + \pi/3) & = \sin(10\pi)\cos(\pi/3) + \cos(10 \pi)\sin(\pi/3) \\ \\ & = 0\cdot\frac 12 + 1 \cdot \sin (\pi/3) \\ \\ & = \sin(\pi/3)\\ \\ & = \sqrt 3/2\end{align}$$