¿Qué se consigue al demostrar la Hipótesis de Riemann?

Question

Recientemente he estado leyendo sobre los problemas del Premio del Milenio, concretamente sobre la Hipótesis de Riemann. No estoy ni mucho menos capacitado para entender el problema en su totalidad, pero viendo la hipótesis y los demás problemas no puedo evitar preguntarme: ¿qué utilidad práctica tiene resolverlo?

Muchos investigadores han dedicado mucho tiempo a ello, tratando de demostrarlo, pero ¿por qué es tan importante resolver el problema?

He intentado relacionar la situación con los problemas de mi campo. Por ejemplo, resolver el $P \ vs. NP$ problema tiene importantes implicaciones si se demuestra que es $P = NP$ o $P \neq NP$ : por ejemplo, los algoritmos criptográficos, pero es difícil decir por qué la Hipótesis de Riemann, u otros problemas, son tan importantes.

Quizá se pueda dar una respuesta parcial viendo a qué soluciones ha conducido la prueba de la Conjetura de Poincaré.

Answer 1

Demostrando la Hipótesis de Riemann conseguirás la titularidad, prácticamente donde quieras.

Answer 2

Los problemas del Milenio no son necesariamente problemas cuya solución conduzca a la curación del cáncer. Son problemas de matemáticas y se eligieron por su importancia en las matemáticas y no por su potencial en las aplicaciones.

Hay muchos problemas importantes abiertos en matemáticas, y el Instituto Clay tuvo que reducirlos a siete. Sean cuales sean las razones, está claro que una lista tan corta es incompleta y no pretende ser una lista exhaustiva de los problemas más importantes a resolver. Sin embargo, cada uno de los problemas resueltos es extremadamente central, importante, interesante y difícil. Algunos de estos problemas tienen consecuencias directas, por ejemplo la hipótesis de Riemann. Hay muchos (muchísimos) teoremas en la teoría de números que dicen algo así como "si la hipótesis de Riemann es cierta, entonces bla, bla", por lo que saber que es cierta validará inmediatamente las consecuencias de estos teoremas como verdaderas.

Por el contrario, la solución de algunos de los otros problemas del Milenio (muy probablemente) no va a conducir a nada dramático. Por ejemplo, el $P$ contra. $NP$ problema. Personalmente dudo que sea probable que $P=NP$ . La razón por la que es una pregunta importante no es porque no sepamos ya (filosóficamente) la respuesta, sino porque no tenemos ni una maldita idea de cómo demostrarla. Significa que hay cuestiones fundamentales en la computabilidad (que es un tema muy importante hoy en día) que simplemente no entendemos. Resolver $P \ne NP$ será importante no por el resultado sino por las técnicas que se utilizarán. (Por supuesto, en el improbable caso de que $P=NP$ se producirán enormes consecuencias. Pero eso es tan probable como que la Guía del Autoestopista Galáctico esté basada en hechos reales).

La conjetura de Poincaré es un problema extremadamente básico sobre el espacio tridimensional. Creo que el espacio tridimensional es muy importante, así que si no podemos responder a una pregunta muy fundamental sobre él, entonces no lo entendemos bien. No soy un experto en la solución de Perelman, ni en el campo al que pertenece, así que no puedo decir qué consecuencias tienen sus técnicas para entender mejor el espacio tridimensional, pero estoy seguro de que las hay.

Answer 3

Explicar las verdaderas matemáticas que hay detrás de la Hipótesis de Riemann requiere más texto del que tengo asignado (me llevó la mayor parte de mi licenciatura en matemáticas para siquiera tocar la superficie; necesité todo el posgrado para apreciar plenamente la belleza).

En términos muy sencillos, la Hipótesis de Riemann trata principalmente de la distribución de los números primos. La idea es que los matemáticos tienen algunas aproximaciones muy buenas (énfasis en aproximadas) para la densidad de los números primos (así que dame un número entero, y puedo usar estas funciones aproximadas para decirte aproximadamente cuántos números primos hay entre 0 [realmente 2] y ese número entero). La razón por la que utilizamos estas aproximaciones es que no existe ninguna función [conocida] que calcule de forma eficiente y perfecta el número de primos menores que un número entero dado (estamos hablando de números con literalmente millones de ceros). Como no podemos determinar los valores exactos (de nuevo, estoy simplificando mucho) el problema que los matemáticos quieren saber es exactamente CÓMO de buenas son estas aproximaciones.

Aquí es donde entra en juego la Hipótesis de Riemann. Desde hace más de un siglo, los matemáticos saben que una forma especial de la función polilogaritmo (de nuevo, más matemáticas divertidas si estás aburrido) es una gran aproximación a la función de contar primos (y es mucho más fácil de calcular). La Hipótesis de Riemann, de ser cierta, garantizaría un límite mucho mayor en la diferencia entre esta aproximación y el valor real. En otras palabras, la importancia de la Hipótesis de Riemann es que nos dice mucho sobre lo caóticos que son realmente los números primos. Esta es una explicación de muy alto nivel y la Hipótesis de Riemann trata literalmente de cientos de otros conceptos, pero el punto principal es entender la distribución de los números primos.

Answer 4

La hipótesis de Riemann es una conjetura sobre la función zeta de Riemann $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}$$ Esta es una función $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ . Con la definición que he proporcionado la función zeta sólo está definida para $\Re(s)\gt1$ . Con un poco de análisis complejo se puede demostrar que existe una extensión continua (en realidad holomórfica si se sabe lo que significa) de la función para que esté definida en su totalidad $\mathbb{C}$ . La función zeta de Riemann tiene algunos puntos cero triviales como $-2,-4,-6.$ La hipótesis dice que los otros puntos cero se encuentran en la línea crítica $\Re(s)=\dfrac12$ . Esta hipótesis tuvo muchas aplicaciones en el análisis y la teoría de los números. La primera demostración del teorema de los números primos utilizó esta conjetura.

Para responder a su pregunta, me gustaría referirme a este donde puedes encontrar toneladas de aplicaciones de la hipótesis de Riemann.

Answer 5

Las técnicas empleadas en las demostraciones de algunos de los teoremas más difíciles se utilizan para demostrar otros tantos teoremas. La demostración de uno de estos teoremas nos dará acceso a una increíble cantidad de nuevas técnicas que definitivamente harán que las matemáticas sean más cortas, sencillas y fáciles de entender.