Mientras que el estudio de una relación no lineal de la PDE derivadas de la mecánica cuántica, me encontré con una declaración de que no puedo demostrar fácilmente. Vamos a escribir $E=W^{1,2}(\mathbb{R}^3)$ en el habitual espacio de Sobolev, y definir el funcional $$ \mathcal{D}(u)= \int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{|u(x)|^2 |r(y)|^2}{|x-y|} \, dx \, dy \quad \text{para $u \in E$}. $$ Se afirma sin pruebas que $\mathcal{D} \in C^2(E)$. Creo que se puede demostrar la continuidad de la segunda derivada en cero, pero no puedo cambiar a la continuidad en diferentes puntos. Agradecería cualquier sugerencia.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
bartgol
Puntos
3039
Si no estoy equivocado, los derivados de la $\mathcal{D}(u)$ están dadas por
$$ \mathcal{D}_u(u)[\delta u] = 4\int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta u(x) u(x) |u(y)|^2}{|x-y|} \, dx \, dy $$
$$ \mathcal{D}_{u,u}(u)[\delta u,\delta v] = 4\int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta u(x) \delta v(x) |u(y)|^2}{|x-y|} \, dx \, dy + \\\qquad\qquad\qquad 8\int_{\mathbb{R}^3} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta u(x) u(x) \delta v(y) u(y)}{|x-y|} \, dx \, dy $$
A partir de aquí, usando el hecho de que $W^{1,2}(\mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^4(\mathbb{R}^3)$ y el uso de Cauchy-Schwarz se debe seguir ese $\mathcal{D}_{u+h,u+h}[\delta u, \delta v]=\mathcal{D}_{u,u}[\delta u, \delta v]+o(||h||_{W^{1,2}})$, que es lo que quieres.
