Demostrar：$x^d-1 \mid x^n-1$ fib $d \mid n$.

Question

Demostrar：$x^d-1 \mid x^n-1$ fib $d \mid n$.

mis intentos:

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necesidad, Vamos a $n=d t+r$, $0\le r<d$

desde $x^d-1 \mid x^n-1$, por lo que,

$x^n-1=\left(x^d-1\right)\left(x^{\text{dt}+r-d}+\dots+1\right)$...

así que,,, para demostrar $r=0$?

No sé, y yo no puedo seguir. Cómo hacerlo.

Answer 1

Supongamos $x^{d}-1\mid x^{n}-1$. Por el algoritmo de la división, podemos escribir $n=qd+r$ algunos $q,r\in\mathbb{N}_0$$0\le r<d$. Ahora, observa que $$x^{d}-1 \mid (x^{d}-1)(x^{n-d}+x^{n-2d}+\cdots + x^{n-qd}+1)$$ La expansión de la anterior, y la cancelación de muchos de los términos, obtenemos que $$x^{d}-1 \mid x^{n}+x^{d}-x^{n-qd}-1=x^{n}-1+x^{d}-x^{r}$$ Junto con $x^{d}-1\mid x^{n}-1$, esto implica: $$x^{d}-1\mid x^{d}-x^{r}=(x^{d}-1)+(1-x^{r})$$ que da $x^{d}-1\mid x^{r}-1$. Esta es una contradicción, a menos que $r=0$, en cuyo caso $d\mid n$.

El conversar fácilmente de la siguiente manera a partir de la identidad $x^{n}-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots + x+1)$.

Answer 2

Puede utilizar la División Larga para probar que si $d$ no divide $n$, entonces al dividir $x^n - 1$$x^d - 1$, el resto se $x^r - 1$. Así que a menos que $r = 0$, $x^d - 1 \not | x^n - 1$.

Al revés, yo.e $\Leftarrow$ debería ser obvio.