Encontrar el valor de $a^{2m}+a^m+{1\over a^m}+{1\over a^{2m}}$

Question

Deje $a$ ser un número complejo tal que $a^2+a+{1\over a}+{1\over a^2}+1=0$

Deje $m$ ser un entero positivo, encontrar el valor de $a^{2m}+a^m+{1\over a^m}+{1\over a^{2m}}$

Mi enfoque: I factorizados la ecuación 1, que produjo $(a+{1\over a})={-1^+_-(5^{1\over2})\over2}$

No sé si es de ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Multiplicando la primera ecuación por $a^2(a-1)$, obtenemos $a^5=1$ $a=e^{\frac{2ki\pi}5}$ $k=1,2,3,4$

Así que la segunda expresión es$2\cos\frac{2kmi\pi}5+2\cos\frac{4kmi\pi}5$, por lo que es :

$4$ si $m\equiv 0\pmod 5$
$-1$ si $m\not\equiv 0\pmod 5$

Answer 2

Multiplicar por $a^2$ obtener $$a^4+a^3+a^2+a+1=0$$Multiply by $(un-1)$ to get $$a^5-1=0; a^5=1$$ since $a\neq 1$

Ahora podemos considerar los exponentes de mod $5$.

Si $m$ es un múltiplo de a $5$ tenemos un caso. Si no es un múltiplo de a $5$ tenemos otro.

En el primer caso, todos los términos son iguales a $1$, dando la respuesta $4$.

En el segundo caso los exponentes $m, 2m, -m, -2m$ son todos distintos y no-cero mod $5$ [si, decir $m\equiv -2m$, tendríamos $5|3m$, de donde $5|m$ contradicción] y por lo tanto son equivalentes en un poco de orden a $1,2,3,4$

A continuación, $a^4+a^3+a^2+a=-1$ a partir de la primera ecuación de esta respuesta.

Answer 3

La ecuación se puede transformar a $$a^4+a^3+a^2+a+1=0\Rightarrow a=\exp(2\pi k/5),\ k=1,2,3,4$$ Hence, the expression becomes $$\frac{a^{5 m}-1}{a^{2m}(a-1)}-1=\left\{\begin{array}{rl} 4 & m=0 \mod 5\\ -1 & \mbox{else} \end{array} \right.$$