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Ayudar a comprender el isomorfismo canónico en la localización (tensor de productos)

Deje $M,N$ $A$- módulos y deje $P$ ser una de las primeras ideal.

Por favor alguien puede explicar por qué el siguiente isomorfismo se mantiene?

$$(M \otimes_{A} N)_{P} \cong M_{P} \otimes_{A_{P}} N_{P}$$

Aquí es lo que he intentado:

Considerar el mapa de $f: M_{P} \times N_{P} \rightarrow (M \otimes_{A} N)_{P}$ dada por $$(m/s,n/s') \mapsto (m \otimes n)/(ss')$$ Since this is bilinear, the universal property induces a map $g: (M_{P} \otimes_{A_{P}} N_{P}) \rightarrow (M \otimes_{Un} N)_{P}$
given by $$g(m/s \otimes m'/s') = (m \otimes n)/(ss')$$

Es cierto que este mapa es en realidad un isomorfismo?

9voto

YequalsX Puntos 320

Sí, el mapa se construye es un isomorfismo. Podría ser más fácil de verificar esto usando primero el isomorfismo canónico $A_p\otimes_A M \cong M_p$, de modo que uno tiene la siguiente cadena simple de la canónica de isomorphisms: $$ M_P \otimes_{A_P} N_P \cong (A_P\otimes_A M)\otimes_{A_P} (A_P\otimes_A N) \qquad$$ $$\cong (A_P\otimes_A M) \otimes_A N \cong A_P\otimes_A (M\otimes_A N) \cong (M\otimes_A N)_P.$$

6voto

Amitesh Datta Puntos 14087

@user6495 Ya que no puedo dejar comentarios, voy a aclarar la pregunta que se formula (espero que Matt E no de la mente). El punto es que el producto tensor es conmutativa y asociativa. Por lo tanto, podemos escribir la $(A_p\otimes_A M)\otimes_{A_p} (A_p\otimes_A N)\cong (M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} A_p))\otimes_A N\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_A N\cong (A_p\otimes_A M)\otimes_A N$. La asociatividad del producto tensor usado aquí en el sentido general de bimodules; $A_p$ $(A,A_p)$- bimodule.

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