¿Qué representan los elementos no diagonales del tensor métrico?

Question

Para ciertas métricas en relatividad general, el tensor métrico $g_{{\alpha}{\beta}}$ no es una matriz diagonal. Por ejemplo, la matriz Alcubierre métrico viene dado por

$$ds^2 = -dt^2 + [dx - V_s(t) f(r_s) dt]^2 + dy^2 + dz^2.$$

La matriz correspondiente a esta métrica es

$$ g_{{\alpha}{\beta}}=\begin{pmatrix} V_s(t)^2f(r_s)^2 - 1 & -V_s(t) f(r_s) &0 &0 \\ -V_s(t) f(r_s) & 1 & 0& 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

que no es diagonal. Por otra parte, la métrica de Schwarzchild no tiene términos cruzados: $${ds}^{2} = \left(1 - \frac{r_s}{r} \right) c^2 dt^2 - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 - r^2 \left(d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\varphi^2\right)$$

Espero que se pueda encontrar un sistema de coordenadas en el que la métrica de Alcubierre esté diagonalizada. Sin embargo, en los sistemas de coordenadas donde existen los elementos no diagonales, ¿hay un significado más profundo de lo que representan los términos cruzados?

Answer 1

En un punto, los elementos no diagonales del tensor métrico simplemente dicen que su sistema de coordenadas no es ortogonal. Por ejemplo, si utiliza $\hat{x}$ y $\hat{x} + \hat{y}$ como su base en el plano, la métrica resultante tiene un término cruzado.

Como el tensor métrico es simétrico, siempre se puede diagonalizar en un solo punto, así que no es muy interesante. La cuestión interesante es ver si se puede encontrar un sistema de coordenadas que diagonalice la métrica en cada punto; esto tiene un significado físico.

Supongamos que pudieras encontrar un sistema de coordenadas en el que no hubiera $dt dx^i$ términos cruzados y sin dependencia temporal. Entonces la métrica es invariante bajo inversión temporal, ya que el tiempo sólo aparece a través de $dt^2$ . Esto funciona para la métrica de Schwarzschild, ya que el agujero negro está ahí sentado sin hacer nada.

Por el contrario, si tu situación no es estática, no puedes diagonalizar la métrica en todas partes. Por ejemplo, en la métrica de Kerr para un agujero negro en rotación, hay una $dt d\phi$ término cruzado de la rotación. En su métrica, hay un $dt dr$ término cruzado debido al movimiento del impulsor Alcubierre/"burbuja warp".