El Determinante de una Suma de Matrices

Question

Dado $$ N $n \times n$ matrices $\mathsf{A}^{1}, \dots, \mathsf{A}^{N}$, $$\begin{align} \det \left( \sum_{i = 1}^{N} \mathsf{A}^{i} \right) = \sum_{\sigma \S} \det \mathsf{A}^{\sigma}, \end{align}$$ donde $S = \{ \sigma \colon \{ 1, \dots, n \} \mapsto \{ 1, \dots, N \} \}$ y $(\mathsf{A}^{\sigma})_{ij} = \mathsf{A}_{ij}^{\sigma(i)}$.

Donde es este hermoso resultado publicado?

Answer 1

Esta es una aplicación recta de avance de la linealidad de la determinante en las filas de la matriz. Llame a la suma de las matrices $\Sigma_A$. Observe que cada fila de $\Sigma_A de dólares es una suma de las filas correspondientes de cada$A^i$. Si dividimos el factor determinante a lo largo de la primera fila, entonces tenemos$$\det\left(\Sigma_A\right) = \sum_{i=1}^N\det\left(\Sigma_A^{(i)}\right)$$donde cada$\Sigma_A^{(i)}$es la matriz obtenida a partir de$\Sigma_A$por la colocación de la primera fila con la primera fila de$A^i$. Cuenta ahora de que la segunda fila (y en las salas) de cada$\Sigma_A^{(i)}$sigue siendo una suma de las filas. La división de cada$\Sigma_A^{(i)}$a lo largo de la segunda fila da ahora$$\det\left(\Sigma_A^{(i)}\right) = \sum_{j=1}^N\det\left(\Sigma_A^{(i,\,j)}\right)$$donde$\Sigma_A^{(i,\,j)}$tiene la primera fila de$A^i$y la segunda fila de$A^j$. Sustituyendo esta expresión en nuestro original suma, tenemos que$$\det\left(\Sigma_A\right) = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\det\left(\Sigma_A^{(i,\,j)}\right)$$o de manera más compacta$$\det\left(\Sigma_A\right) = \sum_{(k_1,\ k_2)}\det\left(\Sigma_A^{(k_1,\,k_2)}\right)$$Donde la suma de los rangos de más de la totalidad de los$2$-tuplas con$1\le k_1,\ k_2 \le$N. Continuando en la obvia la moda, podemos llegar finalmente$$\det\left(\Sigma_A\right) = \sum_{(k_1,\ \cdots, k_n)}\det\left(\Sigma_A^{(k_1,\,\cdots,k_n)}\right)$$donde la suma de los rangos sobre todo$$n-tuplas. Por supuesto$\Sigma_A^{(k_1,\,\cdots,k_n)}$es la matriz con una fila$i$de$a^{k_i}$. Esta es exactamente la suma deseada.