Imagen del grupo de Brauer bajo una extensión de campo

Question

Para $k$ un campo, que $Br(k)$ - la Grupo Brauer de $k$ - denotan el grupo de álgebras centrales simples de dimensión finita sobre $k$ , módulo de equivalencia de Morita $(A\equiv B\iff \exists m, n(A\otimes_k M_n(k)\cong B\otimes_k M_m(k))$ con la operación de grupo dada por el producto tensorial $\otimes_k$ .

Dada una extensión de campo de Galois $k\subset K$ obtenemos un mapa natural $Br(k)\rightarrow Br(K)$ . El núcleo de este mapa, $Br(K\vert k)$ es sólo el subgrupo de $Br(k)$ de álgebras que se dividen en $K$ Esta es una descripción bastante rápida.

Mi pregunta es:

¿Existe una descripción igualmente ágil de la imagen de $Br(k)$ en $Br(K)$ ?

(Lo pregunto aquí, a diferencia de MO, ya que sospecho que la respuesta es bastante sencilla y no me la he encontrado).

He etiquetado esta pregunta con las etiquetas "geometría algebraica" y "teoría de grupos"; sin embargo, no estoy seguro de que sean apropiadas, así que siéntete libre de borrarlas/reemplazarlas.

Answer 1

Dejemos que $G$ sea el grupo de Galois de $K$ en $k$ . La imagen es el núcleo de un mapa $Br(K)^G \to H^3(G, K^*)$ . Busca en libros sobre cohomología de Galois, preferiblemente uno escrito en francés...