Demostrar que los valores propios de la ecuación de Legendre son enteros

Question

La ecuación de Legendre, $$\frac{d}{dx}((1-x^2)y') + \lambda y = 0$$ is an irregular Sturm-Liouville problem with $p(x) = 1 - x^2$, por lo que -1 y 1 son sus puntos singulares. He estado intentando desde ayer para demostrar que sus autovalores son necesariamente enteros sin ningún tipo de éxito. ¿Cómo puede uno probar?

Answer 1

Tenga en cuenta que los puntos de $x=-1,1$ son habituales de los puntos singulares y puede utilizar el Método de Frobenius para resolver el problema. Trabajar el problema y usted verá por qué los valores son enteros.

Añadido: Aquí es el conjunto de enteros autovalores

$$ \left\{\lambda_n = n^2+n \quad n \in \mathbb{N} \right\}. $$