Ecuaciones simultáneas, funciones trigonométricas y existencia de soluciones

Question

Me encontré con este enigma mientras repasaba la prueba de que $$A \cdot \sin(bx) + B \cdot \cos(bx) = C \cdot \sin(bx + k)$$ para algunos números $C$ y $k$ . ( $A$ , $B$ y $b$ son conocidos).

El método habitual es expandir el lado derecho utilizando la identidad del ángulo compuesto \begin{align} C \cdot \sin(bx + k) &= C \cdot \bigl( \sin(bx)\cos(k) + \cos(bx)\sin(k) \bigl) \\ &= C\cos(k) \cdot \sin(bx) + C\sin(k) \cdot \cos(bx) \end{align} y así establecer \begin{align} C\cos(k) &= A \\ C\sin(k) &= B \end{align} Mi problema viene con lo que sucede en este punto - entonces procedemos a dividir la segunda ecuación por la primera, obteniendo $$ \tan(k) = \frac{B}{A} $$ que luego resolvemos para obtener $k$ etc. etc.

Mi pregunta es: ¿cómo sabemos que esto es "legal"? Hemos reducido el sistema original de dos ecuaciones a una sola. ¿Cómo sabemos que los valores de $k$ que satisfacen la ecuación única son iguales al conjunto de soluciones del sistema original?

Mientras pensaba en esto, se me ocurrió este otro problema: \begin{align} \text{Find all }x\text{ such that} \\ \sin(x) &= 1 \\ \cos(x) &= 1 \end{align}

Evidentemente, este sistema no tiene soluciones ( $\sin x$ y $\cos x$ nunca son iguales a $1$ simultáneamente). Pero si aplicamos el mismo método que hicimos para el ejemplo anterior, podemos decir que como $\sin(x) = 1$ y $\cos(x) = 1$ dividamos $1$ por $1$ y obtener $$ \tan(x) = 1 $$ que sí tiene soluciones.

Entonces, ¿cómo sabemos cuándo es seguro dividir las ecuaciones simultáneas entre sí? (¿Si es que alguna vez lo es?)

Answer 1

En primer lugar, la pregunta parece ser:

Demuestre que hay algunos $C,k$ tal que para cada $x$

$$A \sin bx + B \cos bx = C \sin(bx + k)$$

Obsérvese que el paso de $$A \sin bx + B \cos bx = C \sin(bx) \cos k + C \cos bx \sin k$$

a

$$C\cos k = A, \ \ C\sin k = B$$

es en realidad la implicación

$$ C\cos k = A, \ \ C\sin k = B \Longrightarrow \ A \sin bx + B \cos bx = C \sin(bx) \cos k + C \cos bx \sin k$$

Así que, si consigues encontrar $C,k$ tal que $C\cos k = A, \ \ C\sin k = B$ Has demostrado la afirmación. Observe que esto no le ayuda a encontrar todo tal $C,k$ . Sólo una de esas parejas. (La implicación inversa también es cierta, pero necesita un poco más de justificación).

Ahora bien, si $C\cos k = A, \ \ C\sin k = B$ entonces debe tienen para los no nulos $A$ que $\tan k = \frac{B}{A}$ .

Esto es sólo la implicación en una dirección:

$$ C\cos k = A, \ \ C\sin k = B \Longrightarrow \tan k = \frac{B}{A}$$

Sólo significa que cualquier solución de

$C\cos k = A, \ \ C\sin k = B$ satisface $\tan k = \frac{B}{A}$

es decir, el conjunto de $k$ que satisface $C\cos k = A, \ \ C\sin k = B$ es un subconjunto del conjunto de soluciones de $\tan k = \frac{B}{A}$ .

Esto no significa que cualquier solución de $\tan k = \frac{B}{A}$ satisface $C\cos k = A, \ \ C\sin k = B$

Por ejemplo, considere la ecuación $x = 1$ . La cuadratura da $x^2 = 1$ que tiene $-1$ como solución.

Para un ejemplo más extremo: $x^2 = -1$ implica $0 \times x^2 = 0$ lo que es cierto para cada $x$ .

Así que el paso es "legal" en el sentido de que es una implicación válida, pero no se pueden leer las soluciones de la ecuación original a partir de las implícitas, como tú mismo has notado.

Si la afirmación X implica la afirmación Y, no es necesario que la afirmación Y implique la afirmación X.

Al resolver ecuaciones, algunas manipulaciones son equivalentes, es decir, la ecuación resultante que se obtiene también implica la original (como sumar 1), mientras que otras no lo son, como elevar al cuadrado.

Answer 2

En general, no. Sabes que todas las soluciones del par de ecuaciones con el que empezaste son soluciones de la única ecuación con la que terminaste (salvo problemas de división por cero), pero generalmente no sabes lo contrario. En este caso, la razón por la que puede salirse con la suya es que puede elegir $C$ . Conociendo $\tan k$ es lo mismo que saber $(\cos k, \sin k)$ hasta una constante multiplicativa; dibuje un círculo unitario si no lo cree.

En general, la única forma de saber si es "legal" hacer algo es probar o refutar que se puede hacer.

Answer 3

¡Buena pregunta!

La pregunta es similar a la siguiente:

"Si tenemos dos polinomios lineales digamos $ax + b$ y $cx+d$ y sabemos que son iguales en dos puntos distintos, entonces ¿podemos concluir que los dos polinomios lineales son iguales?"

Volviendo a su problema, primero observe que lo que tenemos no es una ecuación única sino un conjunto infinito de ecuaciones ya que queremos que el para que se cumpla la ecuación para todos los $x \in \mathbb{R}$ . Esta es la clave aquí y por eso se nos permite "igualar los coeficientes correspondientes".

A continuación se ofrece una explicación algo detallada.

Así que, de hecho, deberíamos sorprendernos de que exista una solución para estos $2$ variables y satisface este conjunto infinito de ecuaciones.

Por lo tanto, si existe una solución, será mejor que satisfaga

$$A \sin(bx) + B \cos(bx) = C \sin(bx+k)$$

en $x=0$ y $x = \frac{\pi}{2b}$ (suponer $b$ es distinto de cero).

Enchufar $x=0$ y $x = \frac{\pi}{2b}$ nos da

$B = C \sin(k)$ y $A = C \sin(\frac{\pi}{2} + k) = C \cos(k)$ .

Una vez que se llega a esta etapa se puede resolver para $C$ y $k$ por el álgebra habitual.

Después de resolver esto, ahora vuelves a introducirlo en la ecuación original para comprobar si la ecuación original es consistente. Y encontrarás que es consistente y satisface para todos $x$ ya que tenemos la identidad

$$\sin(bx+k) = \cos(k) \sin(bx) + \sin(k) \cos(bx)$$ lo cual es bueno $\forall$ $b,x,k \in \mathbb{R}$ y por lo tanto la única solución posible para este sistema es $$C = \sqrt{A^2+B^2}, \tan(k) = \frac{B}{A}$$