La convergencia de $n^{-\gamma}T$ donde $T$ golpear a tiempo para el uniforme de rvs, puedo usar CLT?

Question

Deje $X_1,X_2,\dots$ ser iid uniforme en $\{1,\dots,n\}$ y definen $T=\inf\{k:X_k=X_r \text{ for some }r<k\}$.

El objetivo es averiguar cuándo $n^{-\gamma} T$ converge débilmente a algunos no degenerada de distribución. Por lo $\gamma$ es un parámetro que puede ser elegido?

Mi trabajo: $P(T=k)=\frac{n-1}{n}\times \cdots \times \frac{n-(k-2)}{n} \times \frac{k-1}{n}$, por lo que luego he construido la función característica. La cuestión se reduce entonces a la siguiente.

Como $n\rightarrow \infty$, lo que sucede a

$$\sum_{k=2}^{n+1} \left( \prod_{j=1}^{k-2}\frac{n-j}{n} \right)\frac{k-1}{n} e^{it\frac{k}{n^\gamma}}.$$

Simplemente conectando en wolfram, parece complicado. Debo reconocer esto, o hice algo incorrecto?

Edit: esto Es realmente una aplicación simple de CLT? Para cualquier $n$, la media y la varianza son finitos, por lo que esta converge a algún tipo de normal?

Answer 1

No es difícil hacer el siguiente argumento riguroso.

$$\mathbb{P}(T>k)=\prod_{j=1}^{k-2} \left(1-{j\sobre n}\right) \approx \prod_{j=1}^{k-2} e^{-j/n} \aprox e^{-k^2/2n}.\tag1$$ Para cualquier $t>0$ $k=\lfloor \sqrt{n} t\rfloor$ y el enchufe esta en (1) para mostrar que $$\mathbb{P}(T/\sqrt{n}>t)\to e^{-t^2/2}.$$ Por lo tanto $T/\sqrt{n}$ converge en distribución a la probabilidad medir con la densidad de $t\,e^{-t^2/2}$$(0,\infty)$.