Cada métrica compacta totalmente desconectada del espacio perfecto es homeomórfica a un espacio Cantor.
¿Cada métrica compacta totalmente desconectada del espacio es homeomórfica a un subespacio compacto de un espacio Cantor?
En otras palabras, si tienes un espacio métrico compacto totalmente desconectado, ¿puedes incrustarlo en un espacio métrico compacto totalmente desconectado y perfecto?
Sí, primero mostrar que cada espacio métrico de dimensión cero es homeomórfico con un subconjunto cerrado del espacio de Baire. Ya que el espacio de Baire es un $G_ \delta $ subconjunto del espacio de Cantor, tenemos que cada espacio métrico de dimensión cero es un $G_ \delta $ subespacio del espacio de Cantor. Obsérvese que si nuestro espacio era compacto, la imagen del homeomorfismo también lo es.
La prueba de esto se puede encontrar en el libro de Kechris Teoría clásica del conjunto descriptivo Teorema 7.8.
A partir de los hechos generales sabemos que un espacio compacto totalmente desconectado de Hausdorff es de dimensión cero (tiene una base de subconjuntos de clopen) y como también tenemos un espacio métrico, tenemos una base de clopen contable para nuestro espacio. Las funciones características de estos forman una familia de incrustaciones en $\{0,1\}^ \omega $ que es (homeomórfico) el conjunto de Cantor. De hecho, cada compacto Hausdorff totalmente desconectado del espacio de peso $ \kappa $ puede ser incrustado en un cubo de peso Cantor $ \kappa $ de esta manera.
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