La gráfica de $xy = 1$ en $\Bbb C^2$ es conectado. Verdadero o falso?
Sé que no está conectado en $\Bbb R^2$, pero lo que es el caso de $\Bbb C^2$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El mapa de $f:\Bbb C\setminus\{0\}\\Bbb C^2$ dada por $f(z)=(z,1/z)$ es continua y mapas de $\Bbb C\setminus \{0\}$ en el conjunto $\{(z,w)\in\Bbb C^2:zw=1\}$. Desde $\Bbb C\setminus \{0\}$ está conectado, la imagen también debe ser conectado.
Tenga en cuenta que este argumento falla en el caso real, ya que $\Bbb R\setminus\{0\}$ no está conectado.
Cagri
Puntos
61
Cada valor de $x$ tiene un correspondiente valor de $y$ que $xy=1$ , excepto cuando $x=0$, ya que $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$ son los campos.
Si $\Gamma$ es la función que toma un punto de $x \in \mathbb{C}$ para el correspondiente punto $(x, \frac{1}{x})$ en el gráfico de $xy=1$, entonces $\Gamma$ debe tener dominio de $\mathbb{C}-\{0\}$.
Pero $\mathbb{C}-\{0\}$ está conectado y $\Gamma : \mathbb{C}-\{0\} \to \mathbb{C}^2$ es continua, por lo que $$\Gamma(\mathbb{C} - \{0\}) = \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2\, |\, xy=1 \}$$ está conectado.
DiGi
Puntos
1925
Suponga que $w_1,w_2,z_1,z_2\en\Bbb C$ tales que $w_iz_i=1$ por $i=1,2$. Hay positivo de $r_i,s_i\en\Bbb R$ y $\theta_i,\varphi_i\en[0,2\pi)$ tal que $w_i=r_ie^{i\theta_i}$ y $z_i=s_ie^{i\varphi_i}$.
Mostrar que el conjunto en cuestión contiene una ruta de acceso de $\langle w_1,z_1\rangle$ $\langle w_2,z_2\rangle$ que consta de una ruta lineal de $\langle w_1,z_1\rangle$ $\langle r_2e^{i\theta_1},s_2e^{i\varphi_1}\rangle$, seguido por una ruta desde $\langle r_2e^{i\theta_1},s_2e^{i\varphi_1}\rangle$ $\langle w_2,z_2\rangle$ que toma cada coordenada en torno a un arco circular en su copia de $\Bbb C$.
Una vez que hayas hecho esto, usted tendrá demostrado que el set es el camino conectado y , a fortiori, conectado.
riza
Puntos
170
Dados dos puntos cualesquiera $z,w\ \ en \Bbb C^\times$ considere la posibilidad de una ruta arbitraria $\gamma:[0,1]\a\Bbb C$ con $\gamma(0)=z,\gamma(1)=w$ tal que $\gamma(t)\ne0$ para todo $t$ (usted convencer ese camino existe necesariamente). En particular, piense en $(\gamma,1/\gamma):[0,1]\a\Bbb C^2$. También se nota la ruta de acceso-conexión es más fuerte que el de la conectividad.
